Equivalencia de homotopía de dos pegatinas diferentes de $B^n$ y un espacio arbitrario $X$

Question

Deje $f, g: S^{n-1} \to X$ ser un par de homotópica continua de los mapas. Deje $X \cup_f B^n$ $X \cup_g B^n$ ser la respectiva contigüidad espacios (pushouts de $B^n \hookleftarrow S^{n-1} \rightarrow X$). Necesito mostrar que $X \cup_f B^n$ $X \cup_g B^n$ son homotopy-equivalente.

Me puede convencerme de que es verdad imaginando las deformaciones de la una de la otra mediante la incorporación en algunas espacio ambiente, pero supongo que esto no es posible en general.

También traté de probar esto por el general abstracto estupidez, pero no consiguió nada, y entonces me di cuenta de que no había usado ninguna de las propiedades particulares de $B^n$ a todos. Qué características debo buscar? Un amigo mencionó que su solución se utiliza el hecho de que $B^n \setminus U$ donde $U \subset S^{n-1}$ es abierto, es homotopy-equivalente a $B^n$ o algo así, pero no he sido capaz de hacer cualquier sentido de la observación.

Edit: Después de pensar un poco más, por más abstractos generales tonterías, creo que he descubierto la manera de obtener una especie de deformación mapa, y parece que funciona arbitrarias de los espacios, así que vamos a $S$ ser un subespacio $B$, y deje $h: S \times I \to X$ ser un homotopy de$f: S \to X$$g: S \to X$. Deje $H: S \times I \to X \times I$ ser el mapa de $(s, t) \mapsto (h(s, t), t)$. Deje $(X \times I) \cup_H (B \times I)$ ser el pushout de $B \times I \hookleftarrow S \times I \xrightarrow{H} X \times I$. Luego, por la característica universal de pushouts, tenemos una proyección de $p: (X \times I) \cup_H (B \times I) \to I$ que está de acuerdo con la obvia proyecciones, y las inyecciones $X \cup_f B \to (X \times I) \cup_H (B \times I)$, y, de hecho, incluso es $p^{-1}(\{0\})$. Luego, por la característica universal de $(X \times I) \amalg (B \times I) \simeq (X \amalg B) \times I$, tenemos un mapa de $(X \amalg B) \times I \to (X \times I) \cup_H (B \times I)$. Así que tenemos una homotopy del cociente mapa de $X \amalg B \to X \cup_f B$ para el cociente de mapa de $X \amalg B \to X \cup_g B$. Pero no estoy seguro de que este es cualquier ayuda...

Answer 1

Hay dos maneras de tratar de construir homotopy equivalencia mapas entre los $X \cup_f B_n$$X \cup_g B_n$. Una de ellas es tratar de tener $B_n$ permanece fijo, y hacer que las cosas sucedan en $X$ lugar. Si usted encuentra una construcción que funciona para cualquier espacio de $S$, sería uno de este tipo. La otra es tratar de tener $X$ permanece fijo, y hacer que las cosas sucedan en $B_n$ lugar. Ya sabemos lo $B_n$ es y no sabemos lo $X$ es, debería ser más fácil que hacerlo de esta manera.

Así que queremos un mapa continuo $F : X \cup_f B_n \rightarrow X \cup_g B_n$ donde $\forall x \in X, F(x) = x$. Esto significa que sólo quiere encontrar su restricción $F|_{B_n} : B_n \rightarrow X \cup_g B_n$, de tal manera que $\forall x \in S_{n-1}, F(x) = f(x)$

Ahora bien, si usted desea utilizar el homotopy $h : S^{n-1} \times [0;1] \rightarrow X$$f$$g$, tiene sentido tratar de descomponer $B^n$ y construir algo como esto :

$$B_n \approx (S^{n-1} \times [0;1]) \cup B_n \rightarrow X \cup_g B_n$$

Encontrar una descomposición y la comprobación de que el encolado funciona bien, es sencillo. Demostrando que los mapas que se obtiene una equivalencia de homotopy, cuando de escribir correctamente lo que su composición hace, debe ser fácil así.

Answer 2

Usted debe buscar en el hecho de que $S^{n-1} \to B^n$ es un cofibration.

EDITAR: Esta es una respuesta a sus comentarios de abajo. Hay un cierto diagrama que muestra lo que un cofibration es, es molesto y feo al principio, pero con el tiempo va a hacer una cierta cantidad de sentido. La idea de este diagrama se supone transmitir es que $A \to X$ (creo que de $A$ como un subespacio de $X$) es un cofibration si tenemos una función del $X$, decir $f:X \to Y$, entonces una vez que tenemos una homotopy de $f$ restringido a $A$ entonces tenemos una homotopy de "todos" de $f$. Hay muchas maneras de pensar acerca de cofibrations sin embargo, no todos ellos son fáciles de entender. Moralmente, un cofibration es un mapa de $i: A \to X$ s.t. $X/i(A)$ se comporta bien en los ojos de homotopy teoría, que es la homotopy tipo de $X/i(A)$ sólo depende de la homotopy clase de $i$.

Un par de puntos importantes acerca de cofibrations es que cada mapa es homotópica a una cofibration, pensar acerca de la asignación del cilindro. También, si usted tiene la inclusión de un subespacio $A$ a $X$ donde $X$ se obtiene a partir de a $A$ adjuntando las células luego de que la inclusión es un cofibration, esta es una forma fácil de darse cuenta de que el mapa en cuestión es un cofibration. Ahora, ya que es un cofibration y ya que usted tiene un homotopy, a continuación, los coeficientes deben ser el mismo. La última frase puede ser hecho preciso, pensar acerca de lo que el pushout en realidad es el cociente de y cómo puede adaptarse a su adjuntar mapa en la imagen.

Answer 3

Si todo es un complejo de CW es el hecho más general que cualquier dos mapas homotópicas

$$ f, g:B\longrightarrow Y $$

$B\subseteq X$ producen homotópicas espacios $Y\cup_f X\simeq Y\cup_g X$ donde damos $X$ a lo largo de $B$ $f$. Si $F:B\times I\longrightarrow Y$ es la homotopía entonces puede pensar $Y\cup_F (X\times I)$. Entonces esto se convierte en el hecho de que CW pares $(Z,A)$ tiene una deformación retracción de $Z\times I$ en $(Z\times\{0\})\cup (A\times I)$.