¿Coinciden los dos límites?

Question

Deje que $a$ ser un peso no negativo (positivo casi en todas partes) en $L_{loc}^1( \Omega )$ , $\Omega\subseteq\mathbb {R}^n$ está abierto. Para $\varphi\in C_c^{ \infty }( \Omega )$ definir $$\Vert\varphi\Vert_a ^2= \int_ { \Omega } a(x)| \nabla\varphi (x)|^2\, \mathrm {d}x.$$ Luego $\Vert\cdot\Vert_a ^2$ es una norma en $C_c^{ \infty }( \Omega )$ . Deje que $D_0^1( \Omega ;a)$ denota el cierre de $C_c^{ \infty }( \Omega )$ con respecto a la $\Vert\cdot\Vert_a ^2$ -norma.

Deje que $\{ \varphi_n\ } \in C_c^{ \infty }( \Omega )$ y $\varphi_n\to \varphi$ en $D_0^1( \Omega ;a)$ y también tenemos $\varphi_n\to \psi$ en algún espacio $L^p( \Omega ),\,1 \leqslant p \leqslant\infty$ .

¿Podemos decir que $\varphi = \psi$ ? ¿Y por qué?

Una situación similar ocurre con la prueba del teorema de la incrustación de Sobolev. Donde tenemos una secuencia suave $\{ \varphi_n\ }$ tiende a una $u \in W^{1,p}( \mathbb {R}^n)$ y luego mostramos $\varphi_n$ tiende a algunos $v \in L^{p^*}( \mathbb {R}^n)$ y luego decimos $u=v$ a.e. En esta situación, mi entendimiento es: ya que $\Vert\varphi_n -u \Vert_p\to 0$ y $\Vert\varphi_n -v \Vert_ {p^*} \to 0$ hay una subsecuente $\{ \varphi_ {n_{k_i}}\}$ converge casi en todas partes a ambos $u$ y $v$ Entonces $u=v$ a.e.

Pero en el $D_0^1( \Omega ;a)$ ¿concurre también una subsecuente a $\varphi$ ¿a.e.? ¿O algún otro enfoque?

¡Cualquier consejo será apreciado!

Edita

Aquí está algo de mi pensamiento:

1. Para $u_k \in L^p( \Omega ), 1 \leqslant p \leqslant\infty$ , $u_k \to u$ en $L^p( \Omega )$ define $$\langle u, \varphi\rangle = \int_ { \Omega }u \varphi$$ para todos $\varphi\in C_c^{ \infty }( \Omega )$ . Vemos que esta integral tiene sentido ya que $\varphi$ tiene un soporte compacto y $u$ es integrable localmente. Y es una función lineal continua en $C_c^{ \infty }( \Omega )$ . Además $$| \langle u_k, \varphi\rangle - \langle u, \varphi\rangle | \leqslant \int_ { \Omega }|u_k-u|| \varphi | \to 0$$ por la desigualdad de Holder. Así que tenemos $u_k \to u$ en $\mathcal {D}'( \Omega )$ .

En el caso de Sobolev tenemos $u_k$ tiende a ambos $u$ y $v$ en $\mathcal {D}'( \Omega )$ así que $u=v$ a.e.

1. Para $u_k \in D_0^1( \Omega ;a)$ , $u_k \to v$ en $D_0^1( \Omega ;a)$ define $$\langle u, \varphi\rangle = \int_ { \Omega }a^{1/2}(x)| \nabla u| \varphi.$$ para todos $\varphi\in C_c^{ \infty }( \Omega )$ . Entonces la integral tiene sentido al aplicar la desigualdad de Holder. Y también es una función lineal continua en $\mathcal {D}'( \Omega )$ . Además $$| \langle u_k, \varphi\rangle - \langle v, \varphi\rangle | \leqslant \int_ { \Omega }a^{1/2}(x)| \nabla u_k- \nabla u|| \varphi | \to 0$$ por la desigualdad de Holder. Así que tenemos $u_k \to v$ en $\mathcal {D}'( \Omega )$ lo que implica $u=v$ a.e. Y esto responde a mi pregunta de por qué $\psi = \varphi$ a.e.

¿Hay algo malo en mi "prueba"? ¿O algunos enfoques mejores?

¡Gracias!

Edita

$$| \langle u_k, \varphi\rangle - \langle v, \varphi\rangle | \leqslant \int_ { \Omega }a^{1/2}(x)| \nabla u_k- \nabla u|| \varphi | \to 0$$ parece sólo mezquino $a^{1/2}(x)| \nabla u| \to a^{1/2}(x)| \nabla v|$ en $\mathcal {D}'( \Omega )$ y creo que esto no dice nada sobre mi pregunta.

¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Tu respuesta está en la teoría de las distribuciones. Tanto tu espacio $D^1_0( \Omega ,a)$ y $L^p( \Omega )$ son subespacios del espacio de distribuciones, es decir, funciones lineales delimitadas que actúan sobre $C^ \infty_c ( \Omega )$ .

Ahora, sin un teorema de incrustación, no se da que sólo porque $\varphi_n$ converge en un espacio, necesita converger en otro, de hecho, para casos propiamente feos, puedes construir secuencias que converjan en uno pero no en el otro. Consideremos, por ejemplo, el caso de $\frac { \cos (nx)}{n}$ en algún intervalo limitado. Esta secuencia tiende a 0 en cualquier $L^p$ espacio como $p \rightarrow \infty$ pero no tiene un límite fuerte en $H^1$ (tomando, en este caso, $a(x) \equiv 1$ ).

Sin embargo, si la misma secuencia converge en ambos espacios, entonces las propiedades de las distribuciones dicen que deben converger en la misma distribución.