¿Lo que ' s mal con este argumento? (Límites)

Question

Para calcular el $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{9x^2 + x} - 3x$ podemos multiplicar por el conjugado y eventualmente llegar a un valor límite del $1/6$.

Pero ¿qué pasa con la línea de razonamiento a continuación, ¿qué ocurre con el argumento y por qué? No puedo pensar una explicación simple, yo tuve uno que implica la definición de límite pero creo que debe ser una menos complicada.

Aquí está el argumento: claramente podemos decir $x$ % grande $\sqrt{9x^2 + x} \approx \sqrt{9x^2} = 3x$. Por lo tanto % $ $$ \lim_{x \to \infty} \sqrt{9x^2 + x} - 3x = \lim_{x \to \infty} 3x - 3x = 0 \ . $por lo que el límite debe ser cero, fácil!

¿Qué va mal y por qué?

Answer 1

El problema surge debido a una falta de comprensión del símbolo $\approx$ utiliza aquí. Es muy importante en matemáticas para trabajar las cosas con rigor, incluso si uno no está utilizando una notación formal. El significado del símbolo $\approx$ como se usa aquí es que $$f(x) \approx g(x)\text{ when }x\to a\text{ if } \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\tag{1}$$ This does not guarantee that $$\lim_{x \to a}\{f(x) - g(x)\} = 0\tag{2}$$ However if $\lim_{x \a}g(x)$ exists and is non-zero then the result $(2)$ follows from $(1)$ (this can be easily proved using rules of algebra of limits). In this specific case we have $x \to \infty$ and $f(x) = \sqrt{9 x^{2} + x}, g(x) = 3x$ and clearly $\lim_{x \to \infty}g(x)$ does not exist. Hence we can't go from $(1)$ to $(2)$ and hence the expression $\sqrt{9 x^{2} + x}$ can't be replaced by $3x$ while evaluating the limit of $\sqrt{9 x^{2} + x} - 3x$ when $x \to \infty$.

Sin embargo, el razonamiento aplicado por el OP es muy común entre los estudiantes y creo que esto es más de un problema pedagógico. La enseñanza de cálculo es realmente un juego difícil y por eso muchos de los instructores de tratar de hacer las cosas simplista (o decimos intuitiva), incluso a expensas de rigor. Por lo tanto $a \approx b$ significa que $a$ es casi igual a $b$ (que tan cerca?) en lugar de que el hecho de que $a/b$ es casi igual a $1$. He encontrado que a menos que uno es experto en el arte del cálculo, de la intuición no es de gran ayuda en el cálculo y es mejor ceñirse a reglas simples de límites, en lugar de pensar en tales términos vagos.

Answer 2

Sería una forma más precisa para realizar una aproximación completar el cuadrado:\begin{align*} \sqrt{9x^2 + x} - 3x &= \sqrt{9x^2 + x + \frac{1}{36} - \frac{1}{36}} - 3x \\ &= \sqrt{\left(3x + \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{36}} - 3x \\ &\approx \sqrt{\left(3x + \frac{1}{6} \right)^2} - 3x \\ &= \frac{1}{6} \end{align*}

Answer 3

La respuesta simple a tu pregunta es que el razonamiento no es correcto porque, como ha demostrado a través de alguna manipulación algebraica, el límite es de $\frac{1}{6}$ límites son únicos en este caso.

Más generalmente sin embargo, su razonamiento confunde dos nociones de cercanía. Si bien es cierto que:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2 + x}{9x^2} = 1$$

Evidentemente no es cierto:

%#% $ #% puesto que esto es equivalente a:

$$ \lim_{x \to \infty} (9x^2 + x) = \lim_{x \to \infty} 9x^2 $$

que sería cierto si:

$$ \lim_{x \to \infty} x = 0 $$.

Answer 4

Aquí, trata de límite superior menos límite... pero han elegido $\sqrt{9x^2+x}\approx 3x$. Pero sabemos que $3x\leq \sqrt{9x^2+x}$ para todos los valores de $x$... Por lo que puede concluir solamente que $$\lim_{n\to \infty}\sqrt{9x^2+x}-3x\geq\lim_{n\to \infty}(3x-3x)= 0$$ but can't conclude that equal to $$%0.

Answer 5

Yo diría en la siguiente dirección:

Cuando escribes que $\sqrt{9x^2 +x} \sim \sqrt{9x^2}$ están diciendo

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9x^2 +x}}{\sqrt{9x^2}}=1$$

Esta equivalencia significa que, si usted toma $x$ suficientemente grande, obtiene

$$ \sqrt{9x^2}(1-\epsilon)< \sqrt{9x^2 +x} < \sqrt{9x^2}(1+\epsilon)$ $ Observar que tienes un error de $\epsilon\sqrt{9x^2}$ que queda cuando resta $3x$. Esto demuestra sólo que $-\epsilon\sqrt{9x^2}<\sqrt{9x^2 +x}-3x<\epsilon\sqrt{9x^2}$ qué isn´t lo suficiente como para "probar" que el límite es cero.