Matriz nilpotente

Question

Entonces vi este problema: ¿Existe una matriz triangular superior $A$ tal que $A^n\neq 0$ pero $A^{n+1}=0$ ? Demostrar o refutar.

Dije que no, y mi razonamiento fue que la matriz debe tener una diagonal cero ya que $(A^k)_{ii}=a_{ii}^k$ . Entonces la matriz debe ser srtictly diagonal superior, y cuando la multiplicamos la diagonal de ceros comienza a "moverse hacia arriba" y finalmente la matriz es cero y se deduce que debe estar en a lo sumo $n$ pasos.

¿Existe una forma más limpia de hacerlo? ¿Como mirar los polinomios característicos o algo así? Estaba pensando que el polinomio mínimo debería ser de la forma $t^k$ y por lo tanto el polinomio característico debe ser $t^n$ como el mínimo divide la característica, y por Cayley Hamilton deberíamos tener $A^n=0$ pero no veo por qué el polinomio mínimo debe ser $t^k$ . Si estuviera trabajando sobre un campo complejo (o alg cerrado entonces sí ya que sólo podría tener valores propios cero). ¿Alguna idea?

Gracias,

Answer 1

Hay un par de maneras de interpretar esta pregunta. Las dos más obvias (bueno, para mí):

• Dado $n\gt 0$ ¿existe una matriz cuadrada triangular superior $A$ de algunos tamaño (que puede depender de $n$ ) tal que $A^n\neq 0$ pero $A^{n+1}=0$ ?

  La respuesta a esto es "sí", y de hecho se puede tomar $A$ para ser $(n+1)\times(n+1)$ . Una posibilidad es $$A = \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right).$$ Si $\mathbf{e}_i$ es el vector con $1$ en el $i$ coordenadas y $0$ s en otro lugar, entonces $A\mathbf{e}_1 = \mathbf{0}$ y $A\mathbf{e}_{k+1} = \mathbf{e}_k$ para $k=1,\ldots,n$ . En particular, $A^n\mathbf{e}_{n+1} = \mathbf{e}_1\neq \mathbf{0}$ Así que $A^n\neq 0$ Pero $A^{n+1}(\mathbf{e}_i) = \mathbf{0}$ para todos $i$ Así que $A^{n+1}=\mathbf{0}$ . De hecho, cualquier triángulo estrictamente superior $(n+1)\times(n+1)$ matriz lo hará.

• Dado $n\gt 0$ ¿hay un $n\times n$ matriz $A$ tal que $A^n\neq 0$ pero $A^{n+1} = 0$ ?

  La respuesta aquí es "no". Tienes razón en que todos los valores propios tendrían que ser iguales a $0$ Una prueba un poco más formal es que si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda^k$ es un eigevalue de $A^k$ (¡comprueba esto! no es difícil); ya que el único valor propio de $0$ es $0$ , si $A^{k}=0$ para algunos $k$ entonces cada valor propio de $A$ es igual a $0$ . Sobre los números complejos (o el cierre algebraico de su campo base), eso significa que el polinomio característico de $A$ debe ser $t^n$ lo que significa que el polinomio característico sobre lo que sea campo en el que está trabajando para empezar también es $t^n$ porque todas las raíces del cierre algebraico ya están en el campo original. Esto a su vez significa que, por el Teorema de Cayley-Hamilton, debemos tener $A^n=0$ . Así que no podemos tener $A^n\neq 0$ y $A^{n+1}=0$ : si $A^k=0$ para algunos $k$ entonces $A^n=0$ .

  (Por cierto: por la definición del polinomio mínimo $m(t)$ , si $p(t)$ es cualquier polinomio tal que $p(A)=0$ entonces $m(t)$ debe dividir $p(t)$ ya que si dividimos $p(t)$ por $m(t)$ , $p(t) = q(t)m(t)+r(t)$ con $r=0$ o $\deg(r)\lt\deg(m)$ Entonces, como $A$ centraliza los coeficientes obtenemos $0=p(A) = q(A)m(A)+r(A) = r(A)$ ; ya que $m(t)$ es el polinomio mónico no nulo de menor grado que evalúa a $0$ en $A$ Debemos tener $r(t)=0$ Así que $m(t)|p(t)$ ). El Teorema de Cayley Hamilton implica entonces directamente que el polinomio mínimo debe dividir al polinomio característico. Como el polinomio característico es $t^n$ el polinomio mínimo debe ser $t^k$ para algunos $k$ , $1\leq k\leq n$ .

  De hecho se puede demostrar que todo factor irreducible del polinomio característico dividirá al polinomio mínimo, y el polinomio mínimo divide al polinomio característico).