La conciliación de dos intuiciones acerca de la convolución

Question

Hay dos intuitiva cosas de convolución. En el dominio del tiempo, se representa la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes. En el dominio de la frecuencia, es simplemente la multiplicación.

Estas son el tipo de relacionados con el pero no puedo hacer la conexión. Es allí una manera de ver una de estas propiedades de los otros?

Answer 1

Otro "intuitivo" cosa de convolución no es suavizado. Si usted convolución de una función de $f$ con Dirac de la función delta de $\delta$ (que no es una función es el sentido de una asignación), consigue $f$, y si convolución $f$, con una aproximación suave a $\delta$, se obtiene una aproximación suave a $f$. La convolución será al menos tan suave como la aproximación es. (Más en general, si usted convolución $f$ con un buen comportamiento de la función, por lo general, obtener una función que es al menos tan bien educados en los mismos aspectos. En particular, si usted convolución de una función con un polinomio, se obtiene un polinomio del mismo grado.)

La siguiente será una respuesta incompleta, dando una relación entre la multiplicación y la convolución. Recuerda cómo te enseñaron en la infancia para multiplicar números: $$ \begin{array}{cccccccccc} & & & 9 & 6 & 2 \\ & & \times & 9 & 2 & 4 \\ \hline & & 3 & 8 & 4 & 8 \\ & 1 & 9 & 2 & 4 \\ 8 & 6 & 5 & 8 \\ \hline 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 \end{array} $$ Aquí están multiplicando por convolving. Tiene dos secuencias: $9,6,2$$9,2,4$. Y qué estás haciendo anterior es convolving: se multiplica cada término de la secuencia mediante un adecuado cambio de la otra secuencia. Luego se le agrega la resultante de las secuencias, cada uno se desplaza a la derecha o a la izquierda por el mismo número de lugares por los que dicho desplazamiento se ha hecho. Que la convolución.

Hay una diferencia entre esta y la transformada de Fourier. En este caso, la multiplicación de números corresponde a la convolución de las secuencias, pero la multiplicación de las secuencias no corresponde a la convolución de los números (si esta última idea tenía sentido). Con transformadas de Fourier, va en dos sentidos: $\widehat{(fg)} = \hat f * \hat g$$\widehat{(f*g)} = \hat f\cdot\hat g$.

Con transformadas de Fourier tiene una suma o integral de los productos de algunos de los factores que $(e^{ix})^t$. Con los números anteriores de hacer la misma cosa, excepto que usted tiene $10$ en lugar de $e^{ix}$. Una diferencia entre el $10$ $e^{ix}$ es que la secuencia de potencias de $10$ nunca vuelve a su punto de partida, mientras que un alto poder suficiente de $e^{ix}$ es lo mismo que $(e^{ix})^0$.

Answer 2

Es una forma de recopilación de cosas que se suma a una constante. Por ejemplo, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n} & = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{j+k=n}a_{j}b_{k}\right) z^{n} \\ & = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{n}a_{j}b_{n-j}\right)z^{n}. \end{align} Una transformada de Fourier puede ser visto como una parte integral de "suma" de las exponenciales. Así, cuando se multiplican dos de ellos juntos, también se recogen los términos semejantes \begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ist}a(t)dt\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ist}b(t)dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{u+v=s}a(u)b(v)\right)e^{-ist}ds \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}a(u)b(s-u)du\right)e^{-ist}ds . \end{align} Y, cuando se mira en la suma de variables aleatorias, usted también mira donde la suma es una constante.