Método de la prueba de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\tfrac{\coth n\pi}{n^7}=\tfrac{19}{56700}\pi^7$

Question

La siguiente fórmula fue declarado por Ramanujan:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\coth n\pi}{n^7}=\frac{19\pi^7}{56700}$$

¿Alguien sabe el método de la prueba de esta fórmula? Sé que normalmente Ramanujan utilizado ampliamente los métodos de la divergencia de la serie, pero no puedo ver cómo intentar una prueba de este resultado. Se ve de alguna manera, como un relativamente simple, pero no puedo ver qué métodos podrían ser utilizados para obtenerla.

Answer 1

Desde $(7)$ a partir de esta respuesta es válida para cualquier $z\in\mathbb{C}$, tenemos $$ \begin{align} \pi\coth(\pi n) &=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac1{n+ik}\\ &=\frac1n+2n\sum_{k=1}^\infty\frac1{n^2+k^2}\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac{\pi\coth(\pi n)}{n^7} &=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^8}+2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac1{n^6(n^2+k^2)}\\ &=\zeta(8)+2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\left(\frac1{n^6}-\frac1{n^4(n^2+k^2)}\right)\\ &=\zeta(8)+2\zeta(2)\zeta(6)-2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}\frac1{n^4(n^2+k^2)}\tag{2}\\ &=\zeta(8)+2\zeta(2)\zeta(6)-2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4}\left(\frac1{n^4}-\frac1{n^2(n^2+k^2)}\right)\\ &=\zeta(8)+2\zeta(2)\zeta(6)-2\zeta(4)\zeta(4)+2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4n^2(n^2+k^2)}\tag{3}\\[6pt] &=\zeta(8)+2\zeta(2)\zeta(6)-\zeta(4)\zeta(4)\tag{4}\\[12pt] &=\frac{19\pi^8}{56700}\tag{5} \end{align} $$ donde $(4)$ es el promedio de $(2)$$(3)$. También. hemos utilizado los valores de $\zeta(2k)$ calculado en esta respuesta. Por lo tanto, $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\coth(\pi n)}{n^7}=\frac{19\pi^7}{56700}\etiqueta{6} $$

Answer 2

Supongamos que tratamos de demostrar que $$\sum_{n\ge 1} \frac{\coth(n \pi)}{n^7} = \frac{19\pi^7}{56700}.$$

Usando $$\coth(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} = 1 + 2\frac{e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$ este es el mismo como $$2\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^7} \frac{e^{-n\pi}}{e^{n\pi}-e^{-n\pi}} = -\zeta(7) + \frac{19\pi^7}{56700}.$$

La suma plazo puede ser evaluado usando armónico de la sumación de las técnicas. Dado que este método no ha sido presentado, se me va el detalle de este cálculo de aquí.

Poner $$S(x) = \sum_{n\ge 0} \frac{1}{n^7} \frac{e^{-nx}}{e^{nx}-e^{-nx}}.$$

Vamos a evaluar $S(\pi)$ con un funcional de la ecuación de $S(x)$ que se obtiene por la inversión de sus Mellin transformar.

Recordar que el armónico suma de identidad $$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) = \left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$ donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$

En el presente caso tenemos $$\lambda_k = \frac{1}{k^7}, \quad \mu_k = k \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{e^{-x}}{e^x-e^{-x}}.$$

Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es $$\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{e^x-e^{-x}} x^{m-1} dx = \int_0^\infty \frac{e^{-2}}{1-e^{-2}} x^{m-1} dx \\ = \int_0^\infty \sum_{q\ge 0} e^{-2} e^{- 2 p x} x^{m-1} dx = \sum_{q\ge 0} \int_0^\infty e^{-2(p+1)x} x^{m-1} dx \\= \Gamma(s) \sum_{q\ge 0} \frac{1}{2^s (q+1)^s} = \frac{1}{2^s} \Gamma(s) \zeta(s)$$ fundamentales de la tira de $\langle 1, \infty\rangle.$

De ello se desprende que la Mellin transformar $Q(s)$ de la suma de armónicos $S(x)$ está dado por

$$Q(s) = 2^{s} \Gamma(s) \zeta(s) \zeta(s+7) \quad\text{porque}\quad \sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{k^7} \frac{1}{k^s}$$ para $\Re(s) > -6.$

El Mellin de inversión integral aquí es $$\frac{1}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$ de la cual evaluamos desplazando hacia la izquierda para una ampliación sobre cero.

Afortunadamente, el trivial de los ceros de los dos zeta función términos cancelar los polos de la función gamma plazo. Pasando a $\Re(s) = -7 -1/2$ tenemos $$S(x) = \frac{\pi^8}{18900}\frac{1}{x} - \frac{1}{2} \zeta(7) + \frac{\pi^6 x}{5670} - \frac{\pi^4 x^3}{8100} + \frac{\pi^2 x^5}{5670} + \frac{4}{45} \zeta'(-6) x^6 + \frac{1}{18900} x^7 \\+ \frac{1}{2\pi i} \int_{-15/2-i\infty}^{-15/2+i\infty} P(s)/x^s ds.$$

Vamos a convertir esto en el prometido funcional de la ecuación.

Sustituto $s = -6 - t$ en el resto de la integral para obtener $$- \frac{1}{2\pi i} \int_{3/2+i\infty}^{3/2-i\infty} \frac{1}{2^{-6-t}} \Gamma(-6-t) \zeta(-6-t) \zeta(1-t) x^{t+6} dt$$ que es $$\frac{x^6}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} 2^{6+t} \Gamma(-6-t) \zeta(-6-t) \zeta(1-t) x^t dt$$

En vista de la deseada funcional de la ecuación ahora usamos el funcional ecuación de la de Riemann zeta función en $Q(s)$ a demostrar que el integrando de la última integral es, en realidad, $-Q(t)/\pi^{6+2t}.$

Comience con la ecuación funcional $$\zeta(1-s) = \frac{2}{2^s\pi^s} \cos\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(s) \zeta(s)$$ y sustituir esto en $Q(s)$ obtener $$Q(s) = 2^{s} \frac{\zeta(1-s) 2^s \pi^s}{2\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)} \zeta(s+7) = \frac{1}{2} \pi^s \frac{\zeta(s+7)}{\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)} \zeta(1-s).$$ Aplicar la ecuación funcional de nuevo (esta vez a $\zeta(s+7)$) para obtener $$Q(s) = \frac{1}{2} \frac{\pi^s}{\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)} \frac{2}{2^{-6-s} \pi^{-6-s}} \cos\left(\frac{\pi (-6-s)}{2}\right) \Gamma(-6-s) \zeta(-6-s) \zeta(1-s)$$ Observar que $$\frac{\cos\left(-3\pi\frac{\pi s}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)} = - \frac{\cos\left(-\frac{\pi s}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)} = -1$$ así que finalmente llegamos $$Q(s) = - 2^{6+s} \pi^{6+2s} \Gamma(-6-s) \zeta(-6-s) \zeta(1-s),$$ lo que demuestra la demanda.

Volver a el resto de la integral y re-escribir la siguiente: $$\frac{(x/\pi)^6}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} 2^{6+t} \pi^{6+2t} \Gamma(-6-t) \zeta(-6-t) \zeta(1-t) (x/\pi^2)^t dt.$$ así que el hecho de que es un múltiplo de la definición de la integral de $S(x)$ se hace evidente.

Utilizando el hecho de que $4/45 \times \zeta'(-6) = -1/2\times\zeta(7)/\pi^6$ hemos establecido la ecuación funcional $$S(x) = \frac{\pi^8}{18900}\frac{1}{x} - \frac{1}{2} \zeta(7) + \frac{\pi^6 x}{5670} - \frac{\pi^4 x^3}{8100} + \frac{\pi^2 x^5}{5670} - \zeta(7) \frac{1}{2\pi^6} x^6 + \frac{x^7}{18900} \\ - \frac{x^6}{\pi^6} S(\pi^2/x).$$

Ahora el valor de $x=\pi$ es obviamente especial aquí y tenemos $$S(\pi) = \pi^7 \left(\frac{1}{18900} + \frac{1}{5670} - \frac{1}{8100} + \frac{1}{5670} + \frac{1}{18900}\right) -\zeta(7)- S(\pi)$$ lo que da $$2 S(\pi) = \pi^7 \frac{19}{56700} -\zeta(7)$$ como iba a ser mostrado.

La inspiración para este cálculo es a partir de la ponencia "Mellin Transformar y sus Aplicaciones" por Szpankowski.