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Un límite aproximado para la suma $ \binom {3n}{0}+ \binom {3n}{1}+ \cdots + \binom {3n}{n-1}$

¿Es cierto que

$$ \frac { \dbinom {3n}{0}+ \dbinom {3n}{1}+ \cdots + \dbinom {3n}{n-1}}{2^{3n}}< \frac13 $$ para todos los números enteros positivos $n$ ?

He trazado los primeros valores de $n$ y notó que el lado izquierdo disminuye rápidamente, así que estoy bastante seguro de que es cierto. ¿Pero cómo probarlo? La inducción no parece ayudar mucho aquí.

12voto

Théophile Puntos 7913

Aquí hay un esquema de una prueba. Tenemos que $ \binom {3n}{0}+ \binom {3n}{1}+ \cdots + \binom {3n}{3n} = 2^{3n}$ . Dividir la suma en tercios. El tercio medio es claramente mayor que los otros dos, que, siendo iguales por simetría, deben por lo tanto representar cada uno menos de un tercio del total.

7voto

Anthony Shaw Puntos 858

El Distribución Binomial $2^{-3n} \binom {3n}{k}$ ha significado $ \frac32n $ y la variación $ \frac34n $ . Así, por La desigualdad de Chebyshev Tenemos $$ P \left [|x- \tfrac32n | \ge a \right ] \le\frac { \frac34n }{a^2} \tag {1} $$ Dejando $a= \frac12n +1$ rendimientos $$ \begin {align} P \left [|x- \tfrac32n | \ge\tfrac12n +1 \right ] & \le\frac { \frac34n }{( \frac12n +1)^2} \\ &= \frac {3n}{(n+2)^2} \tag {2} \end {align} $$ Por la simetría de la distribución del binomio, obtenemos $$ \begin {align} P \left [x \le n-1 \right ] &=P \left [x- \tfrac32n\le - \tfrac12n -1 \right ] \\ & \le\bbox [5px,border:2px solid #C0A000]{ \frac {3n}{2(n+2)^2}} \tag {3} \end {align} $$ que es menos de $ \frac13 $ para todos $n$ . De hecho, alcanza un máximo de $ \frac3 {16}$ en $n=2$ .

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