¿Cuáles son las soluciones para $a(n)$ $b(n)$ al$a(n+1)=a(n)b(n)$$b(n+1)=a(n)+b(n)$?

Question

Si usted tiene las siguientes relaciones de recurrencia :

$a(n+1)= a(n) b(n)$

$b(n+1)= a(n) + b(n) $

¿Cómo encontrar la forma de $a(n)$$b(n)$ ? Sospecho que no hay una forma cerrada , pero un infinito suma es lo suficientemente bueno . También se lo debe a los valores de $a(0)$$b(0)$, para que el límite de $b(n)$ n tiende a infinito es 1 ?

Answer 1

Un continuo versión de estas ecuaciones sería $$\frac{d}{dt}\ln(t)=\ln b(t)\\ \frac{d}{dt}b(t)=a(t)\\ \ddot{b}=\dot{b}\ln b\\ \dot{b}=b\ln b-b+C\\ t=\int\frac{db}{b\ln b-b+C}$$ Desde $t\to\infty$ al $b\to1$, tenemos $C=1$. Los principales términos cerca de $b=1$ $$t=\int \frac2{(b-1)^2}+\frac2{3(b-1)}-\frac19+\frac{7(b-1)}{135}+...db$$ así al líder de la orden de $t=2/(1-b)$ o $b\approx1-2/t$. A continuación,$a=db/dt\approx2/t^2$.
No sé cuánto de eso se traslada para el caso discreto.
EDITAR:
Parece que los siguientes-el fin de las obras: $$a(n)=\frac2{n^2}+\frac2{3n^3}(1-8\ln n)+...\\ b(n)=1-\frac2n+\frac{8\ln n}{3n^2}- \frac{32}{9n^3}\left(\ln^2n-\ln n+1/2\right)+...$$