¿El perímetro fractal es siempre infinito?

Question

Buscando información sobre los fractales a través de google he leído varias veces que una característica de los fractales es :

• área finita
• perímetro infinito

Aunque me parece que el área es finita (al menos en la imagen del fractal que he visto, pero tal vez no sea necesariamente cierto?), me pregunto si el perímetro de un fractal es siempre infinito?

Si se piensa en series con términos positivos, se puede encontrar :

• series divergentes : series armónicas por ejemplo $\sum_0^\infty{\frac{1}{n}}$
• series convergentes : $\sum_0^\infty{\frac{1}{2^n}}$

Entonces, ¿por qué no podríamos imaginar un fractal construido de la misma manera que construimos el Copo de nieve Koch pero asegurando que en cada iteración el nuevo perímetro ha crecido menos que $\frac{1}{2^n}$ o cualquier término que haga convergente toda la serie?

¿Qué hay en la definición de los fractales que permite o impide tener un perímetro infinito?

Answer 1

Ciertamente se puede definir un fractal análogo al copo de nieve de Koch con perímetro finito.

La regla iterativa para el copo de nieve estándar de Koch consiste en sustituir el tercio medio de cada segmento de línea por dos segmentos de línea de igual longitud y que se encuentran con el segmento original y entre sí en $60^\circ$ ángulos. Esto aplica la regla $x \mapsto 4x/3$ a la longitud total de la curva, por lo que aplicarlo repetidamente produce una secuencia divergente de longitudes.

Una regla modificada podría consistir en empezar con un segmento de línea roja y sustituir iterativamente la mitad central de cada segmento de línea roja por la parte superior de un trapecio formado por un segmento de línea roja y dos azules (todos de igual longitud y haciendo de nuevo $60^\circ$ ángulos). A continuación, las longitudes totales rojo/azul $(x,y)$ están sometidos a la norma $(x,y)\mapsto(3x/4, y + x/2)$ que es convergente cuando se itera. Es un bonito ejercicio demostrar que este proceso, partiendo de un segmento rojo de longitud $1$ produce una curva totalmente azul de longitud $2$ y partiendo de un triángulo rojo equilátero de perímetro $3$ produce una curva azul cerrada de perímetro $6$ . (Calcular el área dentro de la curva es otro buen ejercicio. Además, dado que el trapecio puede construirse bien rojo-azul-azul o bien azul-rojo-azul en cada paso, hay cualquier número de fractales diferentes con el mismo perímetro y área).

Answer 2

El "área finita" se refiere probablemente al área encerrada por alguna curva fractal cerrada (donde en realidad la curva es el fractal, no el área encerrada, y el área de la propia curva es $0$ - que hay que reconocer que también es finito).

Básicamente, un objeto de dimensión fractal $f$ tiene la propiedad de que

• si se calcula su medida en dimensión $<f$ Siempre se obtiene $\infty$ .
• si se calcula su medida en dimensión $>f$ Siempre se obtiene $0$ .

Por ejemplo, la curva del copo de nieve de Koch tiene una dimensión $1 < \ln 4/\ln 3 < 2$ por lo que su longitud (medida de la dimensión 1) es infinita, pero su área (medida de la dimensión 2) es $0$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que el "copo de nieve relleno" es un objeto ordinario de dos dimensiones (aunque su borde tiene una dimensión fractal: al fin y al cabo, es la curva del copo de nieve de Koch). Por lo tanto, la medida 2d (área) de eso no es $0$ . Sin embargo, no es cierto que siempre tenga que tener un área finita; imagina que en lugar de poner 6 curvas Koch a un forn de nieve, las hubieras añadido linealmente una tras otra. El borde seguiría siendo un fractal (aunque ahora ya no es sorprendente que su longitud sea infinita porque va al infinito por ambos lados), pero el área sería el área de una mitad del plano, que por supuesto también es infinita.

Por otro lado, la dimensión fractal del conjunto de Cantor es $\ln 2/\ln 3$ por lo que incluso su medida 1d es $0$ . Sin embargo, también es un fractal, aunque no se ajusta a la caracterización que has dado.

Answer 3

El problema es: ¿Qué es el perímetro de un conjunto de puntos, después de todo? Sin embargo, en el caso de los fractales curvos como el copo de nieve, producimos aproximaciones sucesivas comenzando con un segmento de línea y sustituyendo repetidamente un segmento de línea por una secuencia de segmentos de línea que alarga el camino. En el caso del copo de nieve de Koch, el alargamiento es por un factor constante de $\frac43>1$ por lo que las longitudes de las polilíneas de aproximación crecen sin límite.

Si por el contrario tiene algún conjunto $S$ que tal vez sea bastante zigzagueante, pero puede decirse que tiene una longitud $L$ de manera adecuada (es decir: Podemos mapear $f:S\to \mathbb [0,L]$ de forma inyectiva y con imagen de dens, tal que $|f(x)-f(y)|\ge |x-y|$ ), entonces su dimensión no es fractal. En efecto, si $\epsilon>0$ se da, se puede seleccionar el $\approx\frac L\epsilon$ puntos a lo largo de la curva con desplazamientos de longitud $0, \epsilon, 2\epsilon, \ldots$ y observe que la curva está cubierta por $\frac L\epsilon$ bolas de radio $\epsilon$ por lo que la dimensión de Hausdroff es $1$ y no fractal.

Answer 4

Sí y no.

Sí, se puede generar una curva que se dobla en todas partes, como el copo de nieve de Koch, pero con una longitud finita, exactamente de la forma que describes.

Será un fractal en algunos aspectos, pero no en otros, así que si es técnicamente un fractal dependerá de a quién se le pregunte.

Citando a Wikipedia:

Existe un cierto desacuerdo entre los matemáticos sobre cómo debe definirse formalmente el concepto de fractal. [...] En 1982 Mandelbrot afirmó que "Un fractal es, por definición, un conjunto para el que la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica". Más tarde, viendo que esto era demasiado restrictivo, simplificó y amplió la definición a: "Un fractal es una forma formada por partes similares al todo de alguna manera".

La curva que se busca no satisface la primera definición, pero puede satisfacer la segunda. (Del mismo modo, la respuesta al título de esta pregunta es "Sí" para la primera definición, pero "No" para la segunda).

Tenga en cuenta que éstas son sólo dos de las muchas definiciones posibles. La informalidad de la segunda definición corresponde al hecho de que las matemáticas no tienen ninguna necesidad real de clasificar formalmente los objetos como fractales o no: los objetos en sí mismos son lo más interesante de estudiar.

Propiedades de su curva

Tu curva tendrá necesariamente la propiedad de que, a medida que te acerques a una parte aleatoria de la misma, parecerá cada vez más recta. Esto es inevitable, ya que, de lo contrario, la curva tendría una longitud infinita. Sin embargo, puede tener "curvas" por todas partes, como el copo de nieve de Koch. Sólo tienen que ser curvas menores, cada vez menos pronunciadas a medida que se amplía la imagen.

En relación con esto, tu curva tendrá una dimensión fractal de uno, ya que estás pidiendo que su longitud unidimensional sea finita. Por eso no satisfará la primera definición anterior.

Otra propiedad de los fractales que se menciona en la página de Wikipedia es que no suelen ser diferenciables en ninguna parte. Su curva, sin embargo, será diferenciable en casi todas partes. Por otra parte, a diferencia de una curva suave, su derivada seguirá teniendo discontinuidades en cada parte de la misma, por mucho que se amplíe, debido a su naturaleza fractal.

Un ejemplo

Una forma fácil de hacer una curva de este tipo es alterar la receta del copo de nieve de Koch para que los ángulos entre los cuatro segmentos sean menos agudos en cada etapa. Como sugieres, cualquier serie convergente servirá.

Para que los términos no disminuyan demasiado rápido, vamos a utilizar $\sum_1^n \frac{1}{n^2}$ . Cada iteración de la construcción aumentará la longitud en algún factor multiplicativo, por lo que queremos que el Registros de estos factores para corresponder a los términos de la serie convergente, por lo que en el paso $n$ queremos que la longitud se incremente en un factor de $e^{1/n^2}$ .

Como los términos caen rápidamente al principio, me saltaré los 10 primeros términos, y escalaré los términos restantes (de la serie aritmética) en 34,81 para que el primer término sea aproximadamente 4/3, como el copo de nieve de Koch. Esto da un aumento de la longitud de $e^{\frac{34.81}{(n+10)^2}}$ en el $n$ El resultado es una longitud total de aproximadamente 3,3 veces la distancia en línea recta entre los puntos extremos de la curva.

Aquí hay algunas vistas de la curva resultante:
(La primera es la curva completa).

Por supuesto, si se acerca el zoom exactamente a uno de los "codos" de la curva, entonces se verá una curva en ese ángulo sin importar la distancia a la que se acerque el zoom.

Answer 5

Si tienen infinitos lados, entonces deben tener un perímetro infinito, especialmente si son perfectamente rectos porque la fórmula del perímetro de la mayoría de las formas es sumar la cantidad de lados, y el fractal tiene infinitos lados, entonces debe tener un perímetro infinito.