¿Cuáles son algunos de los ejemplos que puede usar para demostrar el poder del álgebra geométrica?

Question

¿Cuáles son algunos de los ejemplos que puede usar para demostrar el poder del álgebra geométrica sobre "diario" vectoriales álgebra?

Una forma alternativa de pensar de esta pregunta podría ser: ¿qué ejemplo se muestra cómo álgebra geométrica simplifica un tedioso problema en el vector de álgebra?

Answer 1

Una gran ventaja es en la concepción de algunas transformaciones geométricas.

Los llamados "rechazos" son un buen ejemplo. Por ejemplo, dado un vector de $v$, la parte de un vector de $a$ que es ortogonal a $v$$a - (v \cdot a) v^{-1}$. Esto define lineal en el mapa. Cuando llegas a encontrar el rechazo en una hoja de $V$, es posible que, de ordinario vectoriales álgebra, tiene que encontrar una base ortogonal para la hoja, y luego restar de los componentes de una en una. Si $v_1, v_2, \ldots$ son una base ortogonal, entonces se parece a esto:

$$a - (v_1 \cdot a) v_1^{-1} - (v_2 \cdot a) v_2^{-1} - \ldots$$

El álgebra geométrica ofrece el más compacto $(a \wedge V) \cdot V^{-1}$ lugar.

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Las rotaciones son, en cierto sentido, demasiado bien estudiado para GA para ofrecer una gran ventaja. Sin embargo, creo que el rotor punto de vista de las rotaciones hace que sea más fácil hacer el salto de la geometría Euclidiana, por ejemplo, Minkowskian geometría. El rotor punto de vista de las rotaciones rápidamente permite derivar las ecuaciones de Lorentz aumenta en la relatividad especial.

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Y vectorial cálculo vectorial identidades son a menudo fáciles de demostrar, con la ayuda de grado de proyección.

Por ejemplo, para escalar campo $\psi$ y el vector $A$, considerar la identidad

$$\nabla \times (\psi A) = (\nabla \psi) \times A + \psi (\nabla \times A)$$

Para demostrarlo, usted podría tener que recurrir a la escritura de la cruz del producto en términos de Levi-Civita tensor y hacer algunas índice de la manipulación. La GC manera de hacer las cosas simplemente utiliza el grado de proyección:

$$\nabla \wedge (\psi A) = \langle \nabla (\psi A) \rangle_2 = \langle (\nabla \psi) A \rangle_2 + \langle \psi (\nabla A) \rangle_2 = (\nabla \psi) \wedge A + \psi \nabla \wedge A$$

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GA/GC ofrece una perspectiva diferente de los lineales de los mapas. El pensamiento de que el determinante de una lineal mapa de $\underline T$, ya que la acción de que un mapa pseudoscalar es casi alucinante. Encontrar indicios como la divergencia de un lineal mapa con respecto a sus lineal argumento es igualmente raro cuando estás acostumbrado a simplemente sumar una diagonal. Estos conceptos ayuda a convencer al estudiante de que las huellas y los determinantes (y otros invariantes que se exponen a través de la diferenciación) son reales, significativas cantidades y de manera totalmente independiente de la base.

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Los GC perspectiva sobre la integración arroja algo de luz sobre formas diferenciales, también. Me he topado con varias personas en este mismo sitio que parecen pensar que las diferencias en una integral son la misma como base de 1-formas. GC muestra enfáticamente que este no es el caso, como lo que el diferencial en una integral que contribuye es una tangente $k$-vector: por ejemplo, $dV$ ser una tangente 3-vectores en el espacio 3d.

GC hace que sea fácil hablar de monogénicas funciones--funciones que obedecer $\nabla A = 0$ cualquier $k$-cuchilla-el campo $A$. Convencional de cálculo vectorial se centre en el armónico campos vectoriales en lugar de ello, debido a que las condiciones $\nabla \cdot A = 0$ $\nabla \times A = 0$ no puede ser casado juntos.

GC también hace que sea fácil hablar de funciones de Green para $\nabla$ como resultado. Por ejemplo, el uso de la función de Green para $\nabla$, podemos escribir, para un campo de vectores $F$,

$$F(r) = i^{-1} \left[ \oint_{\partial M} G(r-r') \, dS' \, F(r') + \int_M G(r-r') \, dV' \nabla' F(r') \right]$$

Que la superficie integral plazo sería terrible para describir en el vector de álgebra.