Se puede hacer un ejemplo sencillo de un incontable ordinal? Con un simple me refiero a que es fácil probar que el ordinal es incontable. Sé que el conjunto de todos los contables ordinales es un incontable número ordinal, pero la única prueba de que sé que es bastante complicado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La prueba de que el conjunto de $\Omega$ de todos contables ordinales es incontable, no es difícil. En primer lugar, es un ordinal. A continuación, si $\Omega$ fueron contables, a continuación, $\Omega + 1$ también sería una contables ordinal. Por último, es imposible para$\Omega + 1$$\Omega$, porque eso significaría que $\Omega + 1 < \Omega$.
Greg Case
Puntos
10300
Aquí hay otra manera de argumentar que es ligeramente diferente: Considere el conjunto a $X={\mathcal P}({\mathbb N}\times{\mathbb N})$ de todos los subconjuntos de a ${\mathbb N}^2$. Dado $E\subseteq {\mathbb N}\times{\mathbb N}$, vamos a $A_E$ ser el conjunto de todos los números que aparecen en el dominio o el rango de $E$ (esto a veces se llama el campo de $E$). Si sucede que $E$ es un buen orden de $A_E$, vamos a $\alpha_E$ ser el único ordinal que es isomorfo a $(A_E,E)$. De lo contrario, deje $\alpha_E=0$. A continuación, $\{\alpha_E\mid E\in X\}$ es un conjunto (es la imagen de $X$ bajo el mapa de $E\mapsto\alpha_E$) y es obvio que se trata precisamente de los contables de los números ordinales. Se ve entonces que él mismo es un ordinal, e incontables (ya que no ordinal pertenece a sí mismo). Esto es $\omega_1$.
Shabaz
Puntos
403
Los únicos dos que creo que son simples pruebas se $\Omega$, como dice Carl, y $2^{\aleph_0}$, el conjunto de las infinitas secuencias binarias. Cantor de la diagonal argumento demuestra una incontable. Alternativamente, como todos los cardenales son ordinales, cualquier cardinal mayor que $\aleph_0$ es un incontable ordinal sólo a partir de la definición de countability. Fácil de escribir, pero probablemente lo que usted está buscando.
Bryan Roth
Puntos
3592
La existencia de un incontable número ordinal establecido por el argumento de la Burali-Forti "Paradoja". Véase, por ejemplo, la Sección 1.4 aquí. (Sí, este es el mismo argumento como en Carl Mummert la respuesta.)
Esta es probablemente la forma más sencilla de demostrar la existencia de un incontable número ordinal. Como la Sección 1.2 de las notas vinculadas a la anterior muestra, el habitual de las operaciones de adición, multiplicación e incluso exponenciación de números ordinales no producen innumerables ordinales de contables. Que este no es el caso de la exponenciación es una gran diferencia entre ordinales y cardinales de la aritmética.
