Si ZFC tiene un modelo entonces la unión de ZFC con la negación de los cardinales inaccesibles tiene un modelo

Question

Agradecería que me ayudaran a demostrar la afirmación del título.

Soy nuevo en la teoría de modelos, así que no entenderé muy bien los términos técnicos o los símbolos. Por lo tanto, bastará con un esbozo de la prueba. Gracias.

En cuanto a la definición de "inaccesible": Un cardenal $\lambda$ es inaccesible si

1. $\lambda$ es incontable es decir $\lambda > \omega$ ,
2. $\lambda$ es un límite fuerte es decir, para todos los $\mu < \lambda$ tenemos que $2^{\mu} < \lambda$ y
3. $\lambda$ es regular es decir, para cada $X \subseteq \lambda$ tal que $\operatorname{card}(X) < \lambda$ tenemos que $\sup X < \lambda$ .

Answer 1

Dejemos que $M$ ser el modelo con el que se empieza.

Si $M$ no tiene cardenales inaccesibles, entonces has terminado.

De lo contrario, deja que $\kappa$ sea el primero cardenal inaccesible en $M$ . Es de suponer que usted ya sabe que el modelo de $V_\kappa$ es un modelo de ZFC, visto desde $M$ y por lo tanto también (¿por qué?) cuando se ve desde en el exterior el modelo.

Entonces sólo tienes que demostrar que $V_\kappa$ no contiene ningún cardenal inaccesible. (Es fácil perderse aquí y decir que esto es inmediato porque $\kappa$ fue el primero inaccesible. Pero hay que demostrar que no hay ningún miembro de $V_\kappa$ que $V_\kappa$ mismo piensa que es inaccesible, incluso si $M$ no lo hace).