Deje $f: X \to Y$ ser una cobertura adecuada, surjective, finito mapa) de lisa proyectiva variedades de grado $d$. Cómo puede uno mostrar que en este caso $f_* \mathcal{O}_X$ es un local libre gavilla de rango $d$?
Respuestas
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La respuesta se basa en los siguientes increíblemente general y simple resultado:
Dado un número finito de morfismos de esquemas $f:X\to Y$ $Y$ locales noetherian, la gavilla $f_*\mathcal O_X$ es localmente trivial iff $f$ plano.
La prueba consiste en citar a un resultado en el álgebra conmutativa: un módulo de $M$ sobre un anillo de $R$ plano finito de presentación del fib es finitely generado y proyectivo
[cf. Bourbaki, Álgebra Conmutativa, Capítulo II, §5.3, Corolario 2, en la página 111]
Una vez más Mumford brillante aforismo se aplica:
El plano es un acertijo que sale de álgebra , pero que técnicamente es la respuesta a muchas oraciones.
Si $Y$ es suave, cualquier finito surjective de morfismos es plana y los de arriba se aplica, por lo que el $f_*\mathcal O_X$ es localmente libre, justo como lo deseaba.
Editar
La última afirmación es un caso particular de un resultado maravilloso, bien llamado por algunos geómetras milagro planitud. Va como esto:
Deje $f:X\to Y$ ser un surjective de morfismos entre las variedades más de un campo, con $X$ Cohen-Macaulay (por ejemplo, regular) y $Y$ regular. Si todas las fibras de $f$ son de la misma dimensión, a continuación, $f$ plano.
Una referencia de este teorema es GÖRTZ-WEDHORN, Corolario 14.128, página 475.
Eineki
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Con sus supuestos, $f$ es un plano morhism, y $H^1(X_y,\mathscr O_{X_y})=0$ todos los $y\in Y$. Entonces la teoría de cohomology y cambio de base se dice que $f_\ast\mathscr O_X$ es localmente libre. Es rank $d$ porque $d=h^0(X_y,\mathscr O_{X_y})$.
Si desea una declaración precisa, aquí está:
Supongamos que tienes un buen de morfismos $f:X\to Y$, $Y$ locales Noetherian, coherente y $\mathscr O_X$-módulo de $\mathscr F$, plana más de $Y$. Si $R^if_\ast\mathscr F=0$ todos los $i\neq 0$, luego $f_\ast\mathscr F$ es localmente libre.
