Si la función de $f$ satisface la ecuación de $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$, encontramos a $f$

Question

Pregunta

Deje que la función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$,y tal $$f(xf(y)+x)=xy+f(x)$$

Encontrar todos los $f(x)$

Deje $x=1,y=1$,luego $$f(f(1)+1)=1+f(1)$$ deje $f(1)=t$,luego $$f(t+1)=1+t$$

Así que supongo que $$f(x)=x$$ is such it, and I found $f(x)=-x$ es también?

Puede usted ayudar?

He encontrado este simaler problema：(BMO 1997, 2000) $$f(xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2,f:R\to R$$ esta respuesta $f(x)=x$ o $f(x)=-x$,

la solución completa se puede ver problme 5

Answer 1

Tome la primera a la $x=u\not =0$. Como hemos $f(uf(y)+u)=uy+f(u)$, podemos ver inmediatamente que $f$ es surjective. Deje $v$ tal que $f(v)=0$. Tenemos:

$$f(xf(v)+x)=xv+f(x)=f(x)$$ hence $xv=0$ for all $x$, and $v=0$. We have thus $f(0)=0$.

Existe $v\in \mathbb{R}$ tal que $f(v)=-1$. Tenemos:

$$f(xf(v)+x)=f(-x+x)=f(0)=0=xv+f(x)$$ Ahora tenemos $f(x)=-vx$ todos los $x$, y es fácil ver que tenemos $v=\pm 1$, y hemos terminado.