Aplicaciones prácticas de primer orden exacto de la educación a distancia?

Question

En primaria los libros de texto de educación a distancia, un capítulo inicial es generalmente dedicado a la primera orden de las ecuaciones. Es muy común ver a cada uno de los apartados dedicados a la separables ecuaciones exactas de las ecuaciones, y en general de primer orden ecuaciones lineales (resuelto a través de un factor de integración), no necesariamente en ese orden.

Común de las aplicaciones prácticas de estos textos incluyen el crecimiento de la población/la caries, la mezcla de problemas, el drenaje de tanque/Torricelli, la Ley de problemas de movimiento de proyectiles, la Ley de Newton del Enfriamiento, las trayectorias ortogonales, de fusión de bola de nieve tipo de problemas, algunos circuitos básicos, el crecimiento de una anualidad, y la logística de los modelos de población. (Esto es sólo la parte superior de mi cabeza así que tal vez me estoy perdiendo entre otras.) Sin embargo, todos estos terminan siendo separables o de primer orden lineal de los problemas y resolver en consecuencia.

Hay aplicaciones prácticas que conducen a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que son (exclusivamente) exacta de las ecuaciones?

Edit: Para aclarar, no estoy diciendo que sea exacta de las ecuaciones nunca son útiles. Simplemente estoy preguntando acerca de su pertinencia y aplicabilidad en el contexto particular se mencionó anteriormente.

Para poner la pregunta de otra manera, se puede brevemente estado (por ejemplo, en la forma de un ejercicio que aparecen en la popular de pregrado ODE libros como Boyce & DePrima; Zill; Nagle/Saff/Snider; Edwards Y Penney; etc.) un problema de aplicación modelada por una de primer orden exacto de educación a distancia (que no es separable o lineal) y que es solucionable por la mano? He mirado en la docena o así de ODE los libros de texto en mi estantería y ninguno de ellos contiene un problema. Me parece que la ausencia de curiosidad.

Answer 1

Wikipedia referencias:

• Agiliza, streaklines, y pathlines
• La función de secuencia de

<cita> Agiliza son una familia de curvas que son instantáneamente tangente a la el vector de velocidad del flujo. Estos muestran la dirección en que una masa de líquido elemento va a viajar en cualquier punto en el tiempo. </quote>
Considere el campo de velocidad $(u,v)$ de los bidimensional incompresible de flujo. Vamos a la familia de curvas de ser dado por $\;\psi(x,y) = c$ . Los vectores de velocidad son tangente a estos como se muestra uno de ellos en la siguiente imagen.

Así, a lo largo de la curva de $\psi(x,y) = c$ , las siguientes ecuaciones:se $$ \a la izquierda. \begin{array}{l} \frac{dy}{dx} = \frac{v}{u} \\ d\psi = 0 = \frac{\partial \psi}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi}{\partial y} dy \end{array} \right\} \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{dy}{dx} = - \frac{\partial \psi / \partial x}{\parcial \psi / \partial y} = \frac{v}{u} $$ Por lo tanto, aparte de una constante: $$ u = \frac{\partial \psi}{\partial y} \qquad ; \qquad v = - \frac{\partial \psi}{\partial x} $$ Pero el flujo es incompresible, por lo que: $$ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{\partial^2 \psi}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial y\, \partial x} $$ Adjunto el condiciones para una exacta la ecuación diferencial que se cumplan. Ahora solucione $\psi$ desde: $$ v\, dx - u\, dy = 0 $$ Ejemplo. Tomado de : Encontrar la velocidad de un flujo. $$ u = -\frac{y}{x^2+y^2} \qquad ; \qquad v = \frac{x}{x^2+y^2} $$ Entonces: $$ v\, dx - u\, dy = \frac{x\,dx + y\,dy}{x^2+y^2} = \frac{d\left( x^2+y^2 \right)}{x^2+y^2} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x^2 + y^2 = c $$ Se concluye que la corriente de este flujo son los círculos.

Ejemplo. Algo relacionado con el anterior. $$ u = \lambda\,x \qquad ; \qquad v = \lambda\,y $$ Entonces, asumiendo que $\; x\ne 0$ ($\,x=0\,$ como un caso especial) : $$ v\, dx - u\, dy = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2} = - d(y/x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad y = c\, x $$ Un factor de integración ha sido utilizado. Se concluye que la corriente de este flujo son líneas rectas a través del origen.

Wikipedia referencia:

• El potencial eléctrico

El potencial eléctrico en un punto de $\vec{r}$ en dos dimensiones campo eléctrico estático $\vec{E}$ está dado por la integral de línea: $$ V = - \int_C \vec{E}\cdot d\vec{r} = - \int_C \left(E_x\, dx + E_y\, dy\right) $$ donde $C$ es una hoja de ruta que conecta el punto de potencial cero a $\vec{r}$. De ello se sigue que: $$ E_x = - \frac{\partial V}{\partial x} \qquad ; \qquad E_y = - \frac{\partial V}{\partial y} $$ La integral es cero si el camino está cerrado. Luego Verde del teorema nos dice: $$ \cualquier \left( E_x\, dx + E_y\, dy \right) = \iint \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) dx\,dy = - \iint \left( \frac{\partial^2 V}{\partial x \, \partial y} - \frac{\partial^2 V}{\partial y \, \partial x}\right) dx\,dy = 0 $$ Estableciendo así una vez más las condiciones de solvencia de la expresión exacta de la ecuación diferencial: $$ E_x \, dx + E_y \, dy = 0 $$ La solución de este ODE resultados en la iso-líneas de $\,V(x,y) = c\,$ del potencial eléctrico $\,V$ .

Ejemplo. Una infinitamente largas y finas cable cargado perpendicular al plano de intersección y se en el origen. Aparte de las constantes: $$ (E_x,E_y) = \frac{(x,y)}{r^2} \quad \Longrightarrow \quad E_x\, dx + E_y\, dy = \frac{x\,dx + y\,dy}{r^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2+y^2 = c $$ Las líneas equipotenciales son los círculos.
La caja de pandora: casos especiales, y una singularidad en el origen de todos los ejemplos.

Answer 2

No estoy muy seguro de que este es un claro ejemplo que usted está buscando, pero todavía.

Considerar la Lotka--Volterra sistema en el avión $$ \dot x=x(a_1x+b_1y+c_1)=P(x,y)\\ \dot y=y(a_2x+b_2y+c_2)=Q(x,y).\la etiqueta{1} $$

El siguiente teorema es verdadero: Sistema de $(1)$ no tiene límite de ciclos. La prueba se basa en la Dulac del criterio de que la expresión $$ \frac{\partial}{\partial x}(BP)+\frac{\partial}{\partial y}(BQ)\etiqueta{2} $$ tiene una señal definitiva. Aquí $B=x^{k-1}y^{h-1}$ es un factor de integración y $k,h$ dependen de los parámetros del modelo.

Es posible que la expresión $(2)$ puede ser cero, en este caso (y esta es tu ejemplo) la ecuación $$ \frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{P(x,y)} $$ admite la integración del factor de $B$ y, después de la multiplicación por $B$, es exacta, por lo tanto la admisión de una analítica de la integral. Y en este caso, por lo tanto el plano fase consiste en órbitas cerradas.

Answer 3

Creo que la pregunta no es acerca de las soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales, pero una cierta clase de ecuaciones diferenciales que se denominan (exactas ecuaciones diferenciales). Dos de la razón de que son útiles es porque hay un conocido método para la resolución de ellos, y exacta de las ecuaciones de una cierta clase de ecuaciones no lineales que son irresolubles por los métodos que hemos aprendido para separables y ecuaciones lineales. El más técnicas que saber y más tipos de ecuaciones de saber cómo la información de los mensajes de los más útiles que usted va a encontrar las ecuaciones diferenciales para estudiar el mundo real (o para la comprensión de las matemáticas puras). Espero que esto fue útil.

Answer 4

Problema:

Una torre cilíndrica de dos metros de ancho que se encuentra en medio de un lento y profundo río. Vamos a utilizar un sistema de coordenadas cilíndrico centra en el pilón, con la radial, angular, coordenadas vertical y $r$, $\theta$, y $z$, la medición de las distancias en metros. El agua en el río se mueve con velocidad de $$\left(1 - \frac{1}{r^2}\right) \cos(\theta) \frac{\partial}{\partial r} - \left(1 + \frac{1}{r^2}\right) r \sin(\theta) \frac{\partial}{\partial \theta}.$$

Escribir una ecuación que describe la trayectoria de una diatomea a la deriva por el río. Hay muchos caminos posibles, pero usted debe elegir el que se acerca a la línea $$\begin{align} r \sin(\theta) & = 1/2 \\ z & = -2 \end{align}$$ cuando las diatomeas está muy lejos de la columna. La ecuación sólo se necesita para describir el lugar donde la diatomea se va; no tiene que especificar donde la diatomea es en cada momento.

Comentario:

• Cada vez que tengo que resolver de forma exacta la educación a distancia, lo que realmente estoy haciendo es encontrar el núcleo de la foliación de una exacta 1-forma (o, de manera equivalente, las curvas integrales de un exacto campo de vectores). Por lo tanto, si usted quiere encontrar aplicaciones exacta de las ecuaciones diferenciales ordinarias, mi consejo es buscar aplicaciones de las curvas integrales de la exacta campos vectoriales. El problema anterior es un ejemplo clásico.

• Como Han de Bruijn señaló, hay muchos más problemas de donde vino esto. La forma general es, "Encontrar la corriente del flujo bidimensional con el campo de velocidad $\nabla \psi$."

• Lo siento, notando el coordinar los vectores de la base como derivado de los operadores, a la manera de un diferencial de aparejador haría. No estoy seguro de lo que uno utiliza la notación esto a la hora de escribir un libro de texto para los ingenieros.