Recientemente he comenzado a estudiar la geometría diferencial y estaba realmente esperando que, al hacerlo, me gustaría tener finalmente una respuesta a algo que me ha estado molestando desde que tuve la primera noticia de cálculo - ¿qué es $dx$?!
Como tengo entendido, en la geometría diferencial $dx^{i}$ es lineal y funcional que los mapas de vectores en un espacio de la tangente $T_{p}M$ a un punto de $p\in M$ en un colector $M$ para el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$, es decir,$$dx^{i} :T_{p}M\rightarrow\mathbb{R}$$ In this sense the differential form $ dx^{i}$ maps a vector $v\en T_{p}M$ to its $i^{th}$ coordinate with respect to the coordinate basis $\frac{\partial}{\partial x^{i}}$, i.e. $dx^{i}(v)=v^{i}$.
En la escuela primaria de cálculo siempre se me dijo cuando le pregunté a la pregunta "¿qué es $dx$?", que es un cambio infinitesimal en la coordenada x. Esto nunca ha descansado fácil para mí, como por ejemplo, si tenemos la fórmula $$ df=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f'(x)\Delta x $$ then due to the properties of limits this can be expressed as $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}f'(x)\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x$$ and clearly $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x =0$, que parece incoherente.
Así que mi pregunta principal es: ¿qué es realmente la $dx$, y es allí cualquier intuitiva (quizás geométrica) una explicación de cómo se relaciona con un infinitesimal de la línea de elemento?
