Atascado en la integral de la $\int_0^{\infty}\frac{2+7\mathrm{cos}(x^\pi-e)-7\mathrm{sin}(1+x^8)}{1+x^2} \mathrm{d}x$

Question

¿Alguien tiene algún consejo sobre cómo evaluar la siguiente integral?

$$\int_0^{\infty}\frac{2+7\mathrm{cos}(x^\pi-e)-7\mathrm{sin}(1+x^8)}{1+x^2} \mathrm{d}x$$

Parece que converge, pero no tengo idea de por dónde comenzar a evaluar. Cualquier consejo se agradece, gracias.

Answer 1

No totalmente respuesta, pero espero que útil la información: para el coseno parte, me di cuenta de que $$\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial x^2}I(a)&=\int_0^\infty\frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\cos\left(x^\pi-a\right)}{1+x^2}\,dx\\ & = -\int_0^\infty \frac{\cos\left(x^\pi-a\right)}{1+x^2}\,dx\\ &=-I(a)\\\end{aligned}$$ and, then, our integral $I(e)$ $$I(e)=K\sin(e)$$ for some constant $K.$ One way to find $K$ is evaluating $I(\pi/2)$ or another convenient value. Numerical evidence suggests $K=-{\cos(1)+4\\pi+1/3}$, pero no sé si Wolfram está señalando un valor racional o dando de los cálculos. Me gustaría que alguien lo prueba en una más potente entorno.

Answer 2

Puesto que el integrando es bordeada por encima y por debajo por: $$ \frac{16}{x^2+1} > f(x) > \frac{-14}{x^2+1}$$ Tanto que convergen (t0 $8\pi$ $-7\pi$ respectivamente), la integral converge a un valor entre. Aparte de eso, yo apostaría en contra de una solución de forma cerrada.