"El problema de la fiesta de Mario"

Question

Mi compañero de cuarto y yo tratamos de resolver esto anoche después de un acalorado juego de Mario Party:

• Es un minijuego de Mario Party que enfrenta a 3 jugadores de un equipo contra 1 jugador individual.
• El juego consiste en 4 cañones, cada uno con su correspondiente mecha
• La cámara se aleja de los cañones, y cada uno de los 3 jugadores elige un cañón para esconderse.
• Tengan en cuenta que cualquier número de jugadores puede elegir esconderse en el mismo cañón.
• Una vez que los 3 jugadores están escondidos, el jugador solista elige 3 cañones para disparar. Si había jugadores que estaban en un cañón que se dispara, entonces esos jugadores son revelados.
• Después de elegir los 3 cañones, si no se ha revelado ni un solo jugador del equipo de 3, entonces el equipo de 3 gana. De lo contrario, el jugador individual gana.

Aquí hay un video de ejemplo del juego.

Lo que estábamos tratando de averiguar: Asumiendo que los escondites de los tres jugadores son independientes, y que tanto los escondites como la selección de los cañones son completamente aleatorios, ¿cuál es la probabilidad de que gane el jugador individual, frente al equipo de tres?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el jugador en solitario elige cañones $1$ , $2$ y $3$ . Ella gana a menos que haya uno o más jugadores en el cañón $4$ .

Hay $4^3$ formas igualmente probables de que los tres jugadores del equipo puedan elegir sus cañones. De estos, $3^3$ no involucran a los cañones $4$ . Así que la probabilidad de que el jugador en solitario gane es $\frac{3^3}{4^3}$ .

De forma equivalente, la probabilidad de que el jugador del equipo A evite el cañón $4$ es $\frac{3}{4}$ . Así que la probabilidad de que todo evitar el cañón $4$ es $\left(\frac{3}{4}\right)^3$ .

Answer 2

Como dijo André Nicolas, podemos suponer que el jugador revelador elige el cañón $1, 2$ y $3$ .

Suponiendo que los tres jugadores eligen su ubicación todos uniformemente distribuidos (¡lo que seguramente no es el caso!) tienen una probabilidad de $\frac{1}{4}$ para que cada jugador elija $4$ . Así que tienen una probabilidad de $\frac{3}{4}$ no hacerlo.

El jugador individual gana, si nadie elige el canon $4$ . Como son independientes puedes simplemente multiplicar:

$$P(\text{"Single player wins"}) = (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64} = 0.421875 < 0.5$$ y

$$P(\text{"Group wins"}) = 1 - P(\text{"Single player wins"}) = 0.578125 > 0.5$$

Esto significa que quieres estar en el grupo, si quieres ganar.

Pero cuando se echa un vistazo al artículo de la wiki Piedra, papel o tijera se puede ver que hay estrategias para estos juegos porque los jugadores no juegan verdaderamente al azar.

(Y -aunque esto podría no ser importante para sólo enteros de $1$ a $4$ : La gente no elige números distribuidos uniformemente. Sólo tienes que pedir a tus amigos que digan un número al azar entre $1$ y $10$ . La mayoría de la gente no dirá $1$ o $10$ al principio. Había un sitio web para eso, pero he olvidado la URL :-/ )