Las flechas especiales para la notación de morfismos

Question

Me he tropezado con la definición de la secuencia exacta, especialmente en Wikipedia, y señaló que el uso de $\hookrightarrow$ para denotar un monomorphism y $\twoheadrightarrow$ para epimorphisms.

Me preguntaba si esta notación fue ampliamente utilizado, o si es común para definir un morfismos en la forma general e indicar sus características de forma explícita (por ejemplo, "un epimorphism $f \colon X \to Y$").

También, si epimorphisms y monomorphisms tienen sus propias flechas, son isomorphisms anotados por un símbolo especial que así, tal vez una yuxtaposición de $\hookrightarrow$$\twoheadrightarrow$?

Finalmente, existen otros tipos de morfismos (o, más en general, las relaciones) que son generalmente clasificadas por diferentes flechas dependiendo del tipo de morfismos, particularmente en el contexto de la categoría de la teoría?

Gracias.

Answer 1

Algunas personas usan esas anotaciones, algunas no. El uso de $\hookrightarrow$ significa que el mapa es un mono, no es una gran idea, en mi opinión, y yo prefiero $\rightarrowtail$ y el uso de la antigua sólo para denotar las inclusiones. Incluso cuando el uso de esa notación, me decía cosas como "considerar la epimorphism $f:X\twoheadrightarrow Y$".

En algunos contextos (por ejemplo, cuando se trata de categorías exactas) se utiliza $\rightarrowtail$ $\twoheadrightarrow$ para denotar que el mapa no es sólo un mono o un epi, pero que tiene ciertas propiedades especiales (por ejemplo, que es una división mono, un cofibration, o lo que no)

Denota isomorphisms mezclando $\twoheadrightarrow$ $\rightarrowtail$ es algo que no recuerdo ver.

Usted encontrará que no hay reglas en la notación, y que todo el mundo usa más o menos lo que les gusta---la única cosa importante es que cuando usted use lo que usted como usted hace que sea claro para el lector.

Answer 2

Estoy de acuerdo con todo lo que Mariano dice, especialmente acerca de la $\hookrightarrow$$\rightarrowtail$, siendo para las inclusiones. Quería añadir que me suele denotar un isomorfismo por $\xrightarrow{\sim}$, lo que evoca $\simeq$$\cong$. Otro tipo de "morfismos", que a menudo se pone un especial de la flecha es una transformación natural, es decir, $\alpha:F\Rightarrow G$ para una transformación natural entre los functors $F,G:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ (ver aquí).

Answer 3

Cabe señalar que estas flechas pueden significar diferentes cosas en diferentes contextos. Por ejemplo, en categorías de modelo, a menudo se utiliza $\hookrightarrow$ o $\rightarrowtail$ para indicar que un mapa es un cofibration, y $\twoheadrightarrow$ a indicar un fibration. Si un mapa es una débil eqivalence, denotamos esto mediante la colocación de un $\sim$ sobre la correspondiente flecha.

Esto podría dar lugar a la ambigüedad. Por ejemplo, en la categoría de espacios topológicos, el modelo estándar de la estructura declara fibrations a ser Serre fibrations. Sin embargo, Serre fibrations no necesita ser surjective (que es, un epimorphism en $\mathbf{Top}$). En muchos casos, uno de los pares de cofibration/monomorphism o fibration/epimorphism coincidirá, y en todos los casos, la debilidad de la equivalencia se convertirá en un isomorfismo en la homotopy categoría, por lo que generalmente no hay confusión.