Estricto de los Números de la Clase de Campos Totalmente Real

Question

En su papel de los Sistemas de Computación de Hecke Autovalores Asociados a las Formas Modulares de Hilbert, Greenberg y Voight la observación de que

...es un folclore conjetura de que si uno de los pedidos totalmente real campos por sus discriminante, a continuación, un (sustancial) positivo proporción de los campos se han estricto de la clase número 1.

He intentado buscar más información acerca de esto, pero no he encontrado nada.

Es esta conjetura basada únicamente en los cálculos, o hay heurísticas que explicar por qué esto debe ser así?

Answer 1

Tal vez vale la pena una palabra acerca de por qué Cohen-Lenstra predice este comportamiento. Supongamos que K es un campo con r de arquímedes lugares. Entonces Spec O_K puede considerarse como análoga a la de una curva sobre un campo finito k con r pinchazos, que es un esquema afín Spec R. Escriba C para el (unpunctured) de la curva. A continuación, el grupo de clase de R es el cociente de la Pic(C)(k) por el subgrupo generado por las clases de los pinchazos -- o, lo que es lo mismo, el cociente de la Jac(C)(k) por el subgrupo generado por grado-0 divisores apoyado en las perforaciones. (Este último subgrupo es sólo la imagen de un natural homomorphim de Z^{i-1} a Jac(C)(k).)

El Cohen-Lenstra filosofía es que estos grupos y el pinchazo de datos son "aleatorios" -- es decir, usted debe esperar que el p-parte de la clase de grupo de R se ve igual que lo que se obtendría si se eligió una al azar finito abelian p-grupo (donde un grupo está ponderado por 1/|Aut(A)|) y mod a cabo por la imagen de un azar homomorphism de Z^{i-1}. (Hay varias maneras en que esta descripción es un poco fuera de la marca, pero esto le da el punto general.)

Resulta que cuando r > 1 la oportunidad es muy buena que un azar homomorphism de Z^{i-1} a a es surjective. De hecho, la probabilidad es bastante cercano a 1 que cuando usted toma un producto a través de todos los p que usted todavía consigue un número positivo. En otras palabras, cuando r > 1 Cohen-Lenstra predice una probabilidad positiva de que el grupo de clase se han trivial p-parte de todos los p; en otras palabras, es trivial. (De hecho, se prevé una precisa de la probabilidad, la cual se ajusta a los datos experimentales bastante bien.)

Cuando r = 1, por otro lado, el grupo de clase es sólo Un sí mismo, y la probabilidad p parte es trivial es el orden de 1-1/p. Ahora el producto por toda la p es 0, por lo que uno NO espera ver un positivo proporción de trivial de los grupos de la clase. Y de hecho, cuando hay un solo lugar de arquímedes, es decir, cuando K es imaginario cuadrática-esto es lo que sucede!

Answer 2

Una heurística es la siguiente: si uno se imagina que el residuo de a $s = 1$ de la $\zeta$-función no crecer demasiado rápido, entonces el valor es una combinación de el regulador y el número de la clase. Yo no conozco ninguna razón para que el regulador no también crecen (no son un montón de unidades, después de todo!), y por lo tanto uno puede imaginar que el número de clase, entonces se queda pequeño.

Esto es parte de un general heurístico que, en número al azar campos tiende a ser un trade-off entre las unidades y el número de clase, de manera especial en el total de casos reales, cuando hay tantas unidades, el número de la clase, a menudo debe ser 1.

He aprendido algunas de estas heurísticas de un colega mío que se considera que es más o menos como un axioma de que un número aleatorio de campo tiene un muy pequeño número de clase. Creo que este punto de vista se formó a través de una mezcla de regreso-de-la-envoltura ideas del tipo descrito anteriormente, junto con una gran cantidad de experiencia de computación con número aleatorio campos. Así que la respuesta a su pregunta podría ser que es una mezcla de la heurística y los cálculos.

Por cierto, en el real cuadrática caso, es compatible con Cohen--Lenstra, pero creo que va a Gauss. También, hay generalizaciones de Cohen--Lenstra a la mayor grado de contexto, y estoy bastante seguro de que son compatibles con el grupo clase/grupo de la unidad de trade-off heurística descrita anteriormente.

Answer 3

Creo que la mejor manera para que uno se convierta convencido de que los números de la clase de la real cuadrática campos tienden a ser pequeñas, es mirar a la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{D}$.

La duración del período de la continuación de la fracción es sobre el regulador (hasta un factor de $\log{D}$). Uno puede fácilmente calcular algunos al azar fracciones continuas, y ver que para la mayoría de los números, la longitud realmente es un pequeño factor de distancia de $\sqrt{D}$.

Los números que tienen una pequeña continuación de la fracción de la duración del período son muy escasos. Creo que no es difícil comprobar que la cantidad de números de hasta el $X$ que tiene la duración del período de $\sqrt{D}$ menos que los fijos entero $n$ $O(X^{1-\epsilon})$ algunos $\epsilon > 0$ (creo 1/2 debería funcionar siempre).

En un sentido muy estricto de la realidad), el regulador de la cuenta de cuántos números de $n$ $|n| < 2\sqrt{D}$ puede ser representado como $n = x^2-Dy^2$ para algunos enteros $x, y$. Bueno, si $D$ es grande y aleatoria, entonces parece razonable que muchos de los que debería. Por lo que el regulador debe ser de alrededor de $\sqrt{D}$, y por lo tanto, por Dirichlet del número de clase de la fórmula, el número de clases debe ser muy pequeña.

Una vez convencidos de la real cuadrática caso, el resto sigue inmediatamente, debido a que ya se creen las cosas que la gente dijo mientras agitaba sus manos un montón. (Esta es una filosofía general en matemáticas)

Answer 4

Para el común de la clase número 1 en el real cuadrática caso, véase Cohen y Lenstra de la Heurística en los Grupos de la Clase de los Campos de Número de https://openaccess.leidenuniv.nl/retrieve/2845/346_069.pdf

Tal vez no es mucho de un salto de sus ver una heurística argumentando que un positivo sustancial porción estricto de la clase número 1.