He leído la prueba de que la ZF no se puede finitely axiomatized a través de la reflexión principio y el 2º teorema de la incompletitud. Desde ZF puede ser countably axiomatized, la finitud requisito en la reflexión principio debe ser necesario; si el principio de reflejo trabajado para infinidad de fórmulas, el mismo argumento podría mostrar que ZF no podía ser countably axiomatized bien, como lo que puedo decir. Pero no puedo entender por qué el principio de reflejo falla por infinidad de fórmulas.
La reflexión principio establece que para que un conjunto finito de fórmulas de $\{\phi_i\}$ y un conjunto inicial $M_0$, podemos extender $M_0$$M$, de modo que para cada fórmula $\phi_i$ tenemos $\phi_i^M (x_1,...,x_n) \iff \phi_i(x_1,...,x_n)$. En Jech, prueba de ello es, esencialmente, de la siguiente manera (thm 12.14): en primer lugar, tomar el conjunto de todos los subformulas de nuestro conjunto inicial de fórmulas de $\{\phi_i\}$, en tanto que es finito. Digamos que estas subformulas se $\{\sigma_1,\sigma_2,\dots\sigma_k\}$, Luego que en repetidas ocasiones que "tocan" los elementos de nuestro conjunto inicial $M_0$ un $M$, de modo que el siguiente se aplica a todos los $u,\dots \in M$:
$$∃x \ \sigma_j (u, . . . , x) → (∃x ∈ M)\ \sigma_j (u, . . . , x),\ j = 1, ..., k \hspace{1cm} (*)$$
Para ello, hemos de comenzar por dejar que el $u,\dots$$M_0$, y contiguos a una adecuada $x$ valor para cada fórmula y cada una de las $\sigma_j$ dar $M_1\supseteq M_0$. Podemos repetir este procedimiento una countably número infinito de veces para llegar a $M_{i+1}\supseteq M_i$ por cada $i$, y deje $M$ ser la unión de la $M_i$. Al final, (*) sostiene claramente para cada $\sigma_j$, debido a que cada una selección de $u\dots$ sólo se hará uso de las variables a partir de algunos finito recorrer $M_i$, y entonces, el $x$ para la derecha vive en $M_{i+1}$. Es fácil deducir de esto que el $\phi_i^M (x_1,...,x_n) \iff \phi_i(x_1,...,x_n)$, sólo por la construcción de la atómica de fórmulas de una capa a la vez.
No puedo encontrar un problema con el uso de este mismo argumento para un conjunto infinito de fórmulas. Podemos volver a tomar sólo el conjunto de subformulas, y establecer (*) por iterativamente la construcción de $M_{i+1}$$M_i$. Esto debería funcionar correctamente, ya que cada persona subformula sólo tiene un número finito de variables. Yo no puedo ver nada remotamente molesto para extender el argumento. Como se explicó al inicio, debe haber un problema con este argumento, pero encontrarlo es eludir mí.
Muchas gracias!
