Esta es una pregunta de matemática recreativa.
Acabo de jugar con el cyclotomic polinomios; y la sustitución de $x$ por $1$,$-1$,$I$ da algunos patrones interesantes; establecimiento $x=2$ parece dar algunos (poco interesante para mí) el patrón de unbounded valores (por supuesto, relacionada con la Mersenne-números de $2^n-1$).
Más interesante parece a mí cuando me reemplace $x=g $ donde $g \approx 0.618...$ es la proporción áurea.
Hasta el $5000$'th cyclotomic polinomio parece que el rango de valores que ocurren limita al intervalo de $g^2 \ldots g^{-2}$.
[editar] parece Que la ocurrencia de los valores de $g^2$ $g^{-2}$ son artefactos debido a las propiedades de $g$; si puedo usar otro valor $0 \lt x \lt 1$$1-x$${1 \over 1-x}$, que en el caso de $x=g$ se convierte accidentalmente idénticas con las plazas.[/edit]
Q1: ¿Es verdad que en la variedad está delimitado? Y es fácil mostrar que, ¿por qué?
Mirando la primera ,decir 12, dígitos sólo parece, que hay valores que se producen con más frecuencia, o, más precisamente, de decir, de pequeños intervalos en lugar de valores; parece que algunos clustery estructura como la acumulación de puntos, por ejemplo, $0.5,1,g$ sí y algunos otros valores especiales.
Q2: ¿el rango de $g^2 ... g^{-2}$ se denso, cuando se aumenta el orden de los polinomios, hasta el infinito?
[Actualización] Para hacer que las propiedades (la acumulación de puntos, los límites) más visible muestro los valores de a $12$ dígitos por primera $120$ cyclotomic polinomios evaluados en $x=0.1$
$$ \small \pequeño \begin{array} {r|lllllll}
1..5& -0.900000000000 & 1.10000000000 & 1.11000000000 & 1.01000000000 & 1.11110000000 \\
6..10& 0.910000000000 & 1.11111100000 & 1.00010000000 & 1.00100100000 & 0.909100000000 \\
11..15& 1.11111111110 & 0.990100000000 & 1.11111111111 & 0.909091000000 & 0.900909910000 \\
16..20& 1.00000001000 & 1.11111111111 & 0.999001000000 & 1.11111111111 & 0.990099010000 \\
..& 0.900900990991 & 0.909090909100 & 1.11111111111 & 0.999900010000 & 1.00001000010 \\
..& 0.909090909091 & 1.00000000100 & 0.990099009901 & 1.11111111111 & 1.09889011000 \\
..& 1.11111111111 & 1.00000000000 & 0.900900900910 & 0.909090909091 & 0.900009090091 \\
..& 0.999999000001 & 1.11111111111 & 0.909090909091 & 0.900900900901 & 0.999900009999 \\
& 1.11111111111 & 1.09890098901 & 1.11111111111 & 0.990099009901 & 0.999000000999 \\
& 0.909090909091 & 1.11111111111 & 0.999999990000 & 1.00000010000 & 0.999990000100 \\
& 0.900900900901 & 0.990099009901 & 1.11111111111 & 0.999999999000 & 0.900009000099 \\
& 0.999900009999 & 0.900900900901 & 0.909090909091 & 1.11111111111 & 1.00999898990 \\
& 1.11111111111 & 0.909090909091 & 0.999000000999 & 1.00000000000 & 0.900009000090 \\
& 1.09890109889 & 1.11111111111 & 0.990099009901 & 0.900900900901 & 1.09998889011 \\
& 1.11111111111 & 0.999999999999 & 1.11111111111 & 0.909090909091 & 0.999990000000 \\
& 0.990099009901 & 0.900000090009 & 1.09890109890 & 1.11111111111 & 0.999999990000 \\
& 1.00000000000 & 0.909090909091 & 1.11111111111 & 1.00999899000 & 0.900009000090 \\
& 0.909090909091 & 0.900900900901 & 0.999900009999 & 1.11111111111 & 1.00099999900 \\
.. & 0.900000090000 & 0.990099009901 & 0.900900900901 & 0.909090909091 & 0.900009000090 \\
.. & 1.00000000000 & 1.11111111111 & 0.999999900000 & 0.999000000999 & 0.999999999900 \\
101..105& 1.11111111111 & 1.09890109890 & 1.11111111111 & 0.999900009999 & 1.10998878900 \\
106..110& 0.909090909091 & 1.11111111111 & 1.00000000000 & 1.11111111111 & 1.09998900010 \\
111..115& 0.900900900901 & 0.999999990000 & 1.11111111111 & 1.09890109890 & 0.900009000090 \\
116..120& 0.990099009901 & 0.999000000999 & 0.909090909091 & 0.900000090000 & 1.00010000000
\end{array}
$$
(Por supuesto, tenemos racional de los valores, bien separados, para esto; sin embargo desde $g$ es irracional la gama será casi esparcidos al azar, por lo que la cuestión de la denso-dad puede no ser trivial)
[/update]
