Encontrar este límite $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1+\alpha}}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})$

Question

vamos secuencia $\{a_{n}\}$ tal $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{\alpha}}=1(\alpha>0)$$

Desde Riemann integral de seleccionados adecuadamente las funciones,Encontrar el siguiente límite $$I=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{1+\alpha}}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})$$

Si este problema puede usar Stloz lema: hemos $$I=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n^{1+\alpha}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{1+\alpha}-(n-1)^{1+\alpha}}=\dfrac{1}{\alpha+1}$$ con motivo $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{\alpha}}=1(\alpha>0)$$

Pero el uso de Riemann integral de seleccionados adecuadamente funciones: tengo $$I=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}}{n^a}$$

Supongo que vamos a probar $$I=\int_{0}^{1}x^{\alpha}dx=\dfrac{1}{1+\alpha}$$ Pero no puedo demostrar que esta ecuación.

Gracias

Answer 1

Definir $$ S_n \equiv \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n^\alpha}. $$

Fix $\epsilon>0$ y asumen $\epsilon<1$. Desde $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n^\alpha} = 1$, hay un $N$ tal que $n>N$ implica $$ 1 - \epsilon < \frac{a_n}{n^\alpha} < 1 + \epsilon. $$ Desde $$ \frac{a_i}{n^\alpha} = \frac{a_i}{i^\alpha}\cdot\frac{i^\alpha}{n^\alpha}, $$ para $n>N$, $$ (*) \ \ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^N \frac{a_i-(1-\epsilon)i^\alpha}{n^\alpha} + \frac{1-\epsilon}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i^\alpha}{n^\alpha} < S_n < \frac{1}{n}\sum_{i=1}^N \frac{a_i-(1+\epsilon)i^\alpha}{n^\alpha} + \frac{1+\epsilon}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i^\alpha}{n^\alpha}. $$ Observar que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{i^\alpha}{n^\alpha} = \int_0^1 x^\alpha \ dx = \frac{1}{1+\alpha}. $$ Esto se deduce porque la suma en el lado izquierdo es sólo la suma de Riemann aproximación de la integral en el lado derecho. Ahora acaba de tomar el límite de $n\to\infty$ de las desigualdades $(*)$ obtener $$ \frac{1-\epsilon}{1+\alpha} \le \liminf_{n\to\infty} S_n \le \limsup_{n\to\infty} S_n \le \frac{1+\epsilon}{1+\alpha}. $$ Desde $\epsilon\in(0,1)$ fue arbitraria, de la siguiente manera $$ \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{1+\alpha}. $$