Si $xy$ es una unidad, se $x$ $y$ unidades?

Question

Sé si $x$ $y$ son unidades que, en el decir de un anillo conmutativo, entonces $xy$ es una unidad con $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$.

Pero si $xy$ es una unidad, no se sigue necesariamente que $x$ $y$ son unidades?

Answer 1

Sí. Deje $z=xy$. Si $z$ es una unidad con inverse $z^{-1}$, $x$ es una unidad con inverse $yz^{-1}$, e $y$ es una unidad con inverse $xz^{-1}$, debido a que $$x(yz^{-1})=(xy)z^{-1}=zz^{-1}=1$$ $$y(xz^{-1})=(yx)z^{-1}=(xy)z^{-1}=zz^{-1}=1$$

Answer 2

En un anillo conmutativo, sí: vamos a $u$ ser tal que $u(xy)=1 = (xy)u$. Entonces $$x(uy) = u(xy) = 1\quad\text{and}\quad (uy)x = u(xy) = 1,$$ por lo $x$ es invertible, y si $x$ es invertible, y $xy$ es una unidad, entonces la $y=x^{-1}xy$ es un producto de unidades, por lo tanto, una unidad.

En un no-conmutativa ring, no; usted puede tener un producto de ser una unidad, sin embargo, ni el factor de ser una unidad. Por ejemplo, vamos a $$A = \prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{Z}$$ y deje $R$ ser el anillo de endomorphisms de $A$. Deje $f\colon A\to A$ ser el derecho de cambio de operador, y deje $g\colon A\to A$ ser la izquierda de cambio de operador. A continuación, $gf=1$ $R$ y, en particular, el producto es una unidad, pero ni $f$ ni $g$ son unidades de ($g$ no es uno-a-uno, por lo que no puede ser de izquierda es invertible, y $f$ no es, por lo tanto no se haga invertible).

Por supuesto, si $xy$ es una unidad en un no-conmutativa anillo, a continuación, $x$ es de derecha es invertible y $y$ es de izquierda es invertible, pero que es el mejor que se puede decir en general, como el ejemplo de arriba muestra.

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ Unidades son precisamente los divisores de $1\:.\:$ por lo tanto, por la transitividad de 'divide' podemos deducir

$$\rm xy\ unit\ \Rightarrow\ xy\ |\ 1\ \Rightarrow\ x\ |\ xy\ |\ 1\ \Rightarrow\ x\ unit\ \qquad QED$$

I. e. el conjunto de todos los divisores de un elemento fijo es cerrado bajo tomando divisores (por transitividad).

Esto puede ser visto como el doble de la conocida "divide a = contiene" para los principales ideales. Es decir, vamos a $\rm\: D(x) =\: $ el conjunto de los divisores de a $\rm\:x\:$ y deje $\rm\: M(x) =\: $ el conjunto de los múltiplos de $\rm\:x\:.\:$, Entonces tenemos

$\rm\qquad a\ |\ b\ \iff\ M(a) \supset M(b)\quad $ es decir, se divide = contiene $\qquad\ \ $ para varios conjuntos

$\rm\qquad a\ |\ b\ \iff\ D(a)\ \subset\: D(b)\quad $ es decir, se divide = contenida en $\ $ divisor conjuntos

Por lo $\rm\ u\ |\ 1\ \iff\ D(u)\:\subset D(1)\quad\:$ es decir $(\Rightarrow)$ dice: $\:$ si $\rm\:u\:$ es una unidad, a continuación, cada divisor de $\rm\:u\:$ es una unidad.

Answer 4

NO si $R$ no es conmutativa

Definición: Supongamos $R$ es cualquier anillo con unidad $1$. Un elemento $u$ se dice que la unidad en $R$ si no sale de $v\in R$ tal que $uv=1$ e $vu=1$.

Deje $\mathbb{R}[x]$ (de infinitas dimensiones) espacio vectorial de todos los polinomios sobre $\mathbb{R}$. Deje $S$ denotar el anillo de todos los operadores lineales en $\mathbb{R}[x]$ con la costumbre de la suma y la composición de los operadores.

Deje $D\colon\mathbb{R}[x]\rightarrow\mathbb{R}[x]$ degradar el operador diferencial: $D(p(x))=p'(x)$.

Deje $J\colon:\mathbb{R}[x]\rightarrow \mathbb{R}[x]$ denotar la integral operador: $J(a_0+a_1x+\cdots + a_nx^n)=a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+\cdots + a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

A continuación, $D\circ J$ es la identidad del operador, que es, obviamente, de la unidad. Pero $D$ no es de la unidad: no es uno-a-uno (por qué?) por lo tanto no puede tener una de dos caras inversa.