Quiero saber si hay una forma de decidir si un cyclotomic polinomio es irreducible sobre un campo $\mathbb{F}_q$?
Respuesta
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Sí que la hay. El $n^{th}$ cyclotomic polinomio $\Phi_n(x)\in\mathbb{Z}[x]$ permanecerá irreductible (después de la reducción de mod $p$) $\mathbb{F}_q[x]$ si y sólo si el residuo de la clase de $q$ genera el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_n^*$ de los residuos clases coprime a $n$.
Esto es porque si $z$ es una raíz de $\Phi_n(x)$ en una extensión de $\mathbb{F}_q$, entonces sus conjugados se $z^q, z^{q^2},$ et cetera. Si se obtiene el mismo número de conjugados que tendría más de $\mathbb{Q}$, entonces usted está listo. Pero sobre $\mathbb{Q}$ los conjugados son exactamente $z^a, \gcd(a,n)=1, 1\le a<n$.
Más detalles. Deje $z$ ser una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad en una extensión de $\mathbb{F}_q$. Deje $\mathbb{F}_q[z]=\mathbb{F}_{q^k}$. Debido a que el grupo multiplicativo de $\mathbb{F}_{q^k}$ es cíclico de orden $q^k-1$, sabemos que $k$ es el menor entero positivo con la propiedad de que $n\mid q^k-1$. Por el Galois, teoría de campos finitos el polinomio mínimo de a $z$ es $$ m(x)=(x-z)(x-z^q)(x-z^{p^2})\cdots(x-z^{q^{k-1}}). $$ Este siempre será un factor de la cyclotomic polinomio $\Phi_n(x)$. Las raíces de esto último son las $z^a, 1\le a<n, \gcd(a,n)=1$. El polinomio $\Phi_n(x)$ es lo irreductible, precisamente, cuando los dos conjuntos de raíces son las mismas.
Aquí $z^{q^i}=z^a$ si y sólo si $q^\ell\equiv a\pmod{n}$. Por lo tanto, todas las raíces primitivas $z^a$ son ceros de $m(x)$ solamente, si todos los exponentes $a$ son congruentes a una potencia de $q$ modulo $n$.
Todo lo anterior supone que $\gcd(n,q)=1$. Permítanos considerar el siguiente caso, donde lo que no es cierto. Aquí $q$ es el orden de un campo finito, por lo que es una potencia de un número primo $p$. Por lo tanto, $\gcd(n,p)>1$ si y sólo si $p\mid n$, así que podemos escribir $n=mp^\ell$ para algunos entero $\ell\ge1$, $m$ coprime a $p$. Entonces tenemos en el ring $\mathbb{F}_p[x]$ la factorización $$ x^n-1=(x^m-1)^{p^a} $$ como consecuencia de estudiante de Primer año del sueño: $$ (a+b)^p=a^p+b^p. $$ Por lo tanto, todas las raíces de $\Phi_n(x)$ $\overline{\mathbb{F}_q}$ son en realidad las raíces de $x^m-1$. De ahí que uno de ellos tiene en la mayoría de las $\phi(m)<\phi(n)$ conjugados. Por lo tanto, $\Phi_n(x)$ no puede ser irreductible en $\mathbb{F}_q[x]$.
