¿Existe $n$ tal que $n,n^2,n^3$ comienzan con el mismo dígito ( $\neq 1)$

Question

De la Olimpiada Matemática de Moscú 2015:

¿Hay alguna $n>2$ tal que $n,n^2$ y $n^3$ comienzan con el mismo dígito (siendo este dígito diferente de $1$ )

Utilizando un ordenador descubrí que $99$ pero me pregunto cómo puede resolverse utilizando sólo papel y lápiz.

No puedo relacionar la expansión decimal de $n$ a la de $n^2$ y $n^3$ en el caso general. ¿Alguna idea?

Además, ¿es posible encontrar todos los $n$ 's ?

Answer 1

Es un poco desafortunado que ya vi que una respuesta sería 99, pero probablemente sería una de mis conjeturas ya que $99, 99^2, 99^3$ están muy próximas respectivamente a $100, 100^2, 100^3$ por lo que todas empezarían con el mismo dígito, 9.

Por ejemplo, si hubiera que encontrar un $n$ donde los dos primeros dígitos de $n, n^2, n^3$ son iguales, 999 funcionaría, ya que los tres están aún más cerca de $1000, 1000^2, 1000^3$ .

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He aquí una lista de cifras que he encontrado utilizando esta lógica: 97, 98, 99, 966, 967, 968, 969, ... 997, 998, 999, 9655, 9656, ... , 9998, 9999, ...

En general, cualquier número $k$ con $n$ dígitos tales que $k > 10^n \cdot \sqrt[3]{0.9}$ funciona.

Tenga en cuenta que $\sqrt[3]{0.9} \approx 0.96549$ . Esto también significa que hay infinitos, y que ocupan alrededor del 3,5% de los enteros positivos.

Sospecho que todo esto son cifras de este tipo.

Answer 2

En números enteros positivos generales $10^n - k$ para pequeños $k$ son buenos candidatos, ya que

$$(10^n - k)^2 \qquad \textrm{and} \qquad (10^n - k)^3$$ no son mucho menores (proporcionalmente) que $10^{2n}$ y $10^{3n}$ y así (para $n, k$ ) tienen un dígito inicial $9$ .

Puesto que (para positivo $\alpha, m$ ) $$(1 - \alpha)^m \geq 1 - \alpha m ,$$ tenemos que $$(10^n - k)^3 \geq 10^{3n} - 3 \cdot 10^{2n} k.$$ Si esto es al menos $10^{3n} - 10^{3n - 1}$ o, lo que es lo mismo, si $$k \leq \frac{1}{3} \cdot 10^{n - 1} ,$$ entonces $(10^n - k)^3$ tiene el último dígito $9$ . Para concluir que $10^n - k$ tiene la propiedad deseada, también debemos demostrar que $(10^n - k)^2$ también tiene dígito principal $9$ pero no es difícil de comprobar. Para $k = 2$ Esto conduce a $97, 98, 99$ .

Si $n$ comienza con $2$ es $2 \cdot 10^m \leq n < 3 \cdot 10^m$ para algún número entero $m$ Así que $4 \cdot 10^{2m} \leq n^2 < 9 \cdot 10^{2m}$ y por lo tanto $n^2$ no puede tener un dígito inicial $2$ . Del mismo modo, se puede eliminar $3, \ldots 8$ (tratamiento $8$ requiere también mirar el cubo, $n^3$ ), por lo que $9$ es el único dígito inicial posible de dicho número.

Answer 3

En frente de los rangos de números fraccionarios de comenzar con un dígito, nos indican la posible inicial dígitos de las plazas. [Yo también considera que las soluciones de partida con un $1$, para la integridad.]

$$\begin{align} [1,2)&\to[1,4):&\color{green}1,2,3\\ [2,3)&\to[4,9):&4, 5, 6, 7, 8\\ [3,4)&\to[9,16):&9,1\\ [4,5)&\to[16,25):&1,2\\ [5,6)&\to[25,36):&2,3\\ [6,7)&\to[36,49):&3,4\\ [7,8)&\to[49,64):&4,5,6\\ [8,9)&\to[64,81):&6,7,\color{green}8\\ [9,10)&\to[81,100):&8,\color{green}9\end{align}$$

Entre el resto de posibilidades, nos fijamos en los cubos

$$\begin{align} [1,2)&\to[1,8):&\color{green}1,2,3,4,5,6,7\\ [8,9)&\to[512,729):&5, 6,7\\ [9,10)&\to[729,1000):&7,8,\color{green}9\end{align}$$

Esto demuestra que la partida dígito debe ser un [$1$ o una $9$. Entonces

$$[1\le x<2\land 1\le x^2<2\land 1\le x^3<2]$$ o $$9\le x<10\land 90\le x^2<100\land 900\le x^3<1000$$ se produce para todos

$$[1\le x<\sqrt[3]{2}=1.25992\cdots]$$ o $$\sqrt[3]{900}=9.65489\cdots\le x<10.$$

Ejemplo de soluciones son

$$[n=125992,n^2=15873984064,n^3=1999995000191488,]$$ $$n=965490,n^2=932170940100,n^3=900001720957149000.$$

Answer 4

Deje $n$ ser un número entero, y vamos a \begin{align} m_1 &= \{\log_{10}(n)\}, \\ m_2 &= \{\log_{10}(n^2)\}, \text{ and}\\ m_3 &= \{\log_{10}(n^3)\}, \end{align} donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$.

Supongamos $n$ $n^2$ a empezar con el mismo dígito $d$ en la notación decimal, $d \geq 2$. Definir $g(d) = \log_{10}(d+1) - \log_{10}(d)$. Entonces \begin{gather} \log_{10}(d) \leq m_1 < \log_{10}(d+1), \\ \log_{10}(d) \leq m_2 < \log_{10}(d+1), \\ \lvert m_1 - m_2 \rvert < g(d). \end{reunir}

Tenga en cuenta que $g(d) = \log_{10}\left(\frac{d+1}{d} \right) = \log_{10}\left( 1 + \frac1d \right) \leq \log_{10} \frac32.$

Cualquiera de las $m_2 = 2m_1$ o $m_2 = 2m_1 - 1$, por lo que uno de los siguientes debe contener: \begin{align} g(d) > \lvert m_1 - m_2 \rvert &= \lvert m_1 - 2m_1 \rvert = m_1, \tag 1\\ g(d) > \lvert m_1 - m_2 \rvert &= \lvert m_1 - (2m_1 - 1) \rvert = 1 - m_1. \tag 2 \end{align}

Pero ya $d \geq 2$, $m_1 \geq \log 2 > \log \frac32 \geq g(d)$, por lo $(1)$ es falso e $(2)$ debe de ser verdad. De $(2)$ tenemos \begin{gather} 1 - \log_{10}(d+1) \leq 1 - m_1 < g(d) = \log_{10}(d+1) - \log_{10}(d), \\ 1 < 2\log_{10}(d+1) - \log_{10}(d) = \log_{10}\left( \frac{(d+1)^2}{d} \right),\\ 10 < \frac{(d+1)^2}{d} = \frac{d^2+2d+1}{d} = d + 2 + \frac1d < d + 3. \end{reunir} Por lo tanto $d > 7$, $d \geq 8$ y $m_1 \geq \log_{10} 8$.

De la necesidad de que $n^3$ también tienen el mismo primer dígito $d$, \begin{gather} \log_{10}(d) \leq m_3 < \log_{10}(d+1), \\ \lvert m_1 - m_3 \rvert < g(d). \end{reunir} Por otra parte, $m_3$ es uno de $3m_1$, $3m_1 - 1$, o $3m_1 - 2$, así, uno de los siguientes debe contener: \begin{align} g(d) > \lvert m_1 - m_3 \rvert &= \lvert m_1 - 3m_1 \rvert = 2m_1, \tag 3\\ g(d) > \lvert m_1 - m_3 \rvert &= \lvert m_1 - (3m_1 - 1) \rvert = \lvert 1 - 2m_1\rvert, \tag 4\\ g(d) > \lvert m_1 - m_3 \rvert &= \lvert m_1 - (3m_1 - 2) \rvert = 2 - 2m_1. \tag 5 \end{align}

Previamente, encontramos que $g(d) \not> m_1$, lo $(3)$ es falso. Desde $m_1 \geq \log_{10} 8$, $2m_1 - 1 \geq \log_{10} (8^2) - 1 = \log_{10} 6.4 > \log \frac32 \geq g(d)$, por lo $(4)$ es falso e $(5)$ debe de ser verdad. Entonces \begin{gather} 2 - 2\log_{10}(d+1) \leq 2 - 2m_1 < g(d) = \log_{10}(d+1) - \log_{10}(d), \\ 2 < 3\log_{10}(d+1) - \log_{10}(d) = \log_{10}\left( \frac{(d+1)^3}{d} \right),\\ 100 < \frac{(d+1)^3}{d} = \frac{d^3+3d^2+3d+1}{d} = d^2 + 3d + 3 + \frac1d < \left(d + \frac32\right)^2 + 4, \\ d > \sqrt{96} - \frac32 > 9.8 - \frac32 = 8.3. \end{reunir} Llegamos a la conclusión de que si ese $n$ existe $d = 9$. Para probar que tal número no existe, aviso que $99^2 = 9801$ $99^3 = 970299$.

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¿Qué tan importante es cada uno de los supuestos?

Por ejemplo, ¿y si nosotros no requieren que $n^3$ tienen el mismo el primer dígito como $n$$n^2$? Recordemos que simplemente asumiendo que $n$ $n^2$ tienen el mismo primer dígito $d$, $d > 2$, se demostró que la $d > 8$. La observación de que $8999^2 = 80982001$$99^2 = 9801$, podemos concluir que el primer dígito debe ser $8$ o $9$ bajo este supuesto, pero puede ser cualquiera.