Si hay totalidad de los $G_k$s tal que $f=\exp\circ\exp\circ\cdots \circ\exp\circ G_k$ ($k$ veces), debe $f$ ser constante?

Question

Soy un francés de invitados y espero que mi inglés no es tan malo...

Así que aquí está mi problema: Considero toda una función $f$, que satisface la siguiente propiedad para cada número complejo a $z\in \mathbb{C}$:

$\forall ~ k \in \mathbb{N}^*$, existe toda una función $G_k$ que satisface $$f(z)=\exp_k(G_k(z))$$ donde $\exp_k$ indica $\exp \circ \exp \circ ...\circ \exp$, $k$-veces.

En otras palabras, no se puede tomar (tantas veces como desee) el $\log$ de mi función $f$, y siempre va a dar una función que no se desvanezca en $\mathbb{C}$.

Sea $f$ un constante? (seguramente diferentes desde $0$...)

Gracias a todos!

(PD: Este foro es genial!)

Answer 1

Debo decir que al principio yo era bastante escéptico de que tal función podría existir, pero resultó que uno puede demostrar su existencia. He escrito la prueba, pero voy a dar aquí sólo croquis (no debería de tener problemas de la computación para ti, buen ejercicio)

Vamos a definir $b_1=2\pi \rm i m_1$ y $\displaystyle b_n=2\pi \rm i m_n+ \log b_{n-1}$ y $$f_n(z)=\exp_{n}\left[b_n+ \frac{z}{b_1b_2\ldots b_{n-1}}\right],$$ donde $\exp_{n}[z]=\exp\circ\cdots\circ\exp(z)$ $$n-veces. Uno debe de encontrar una secuencia de enteros de $m_k>0$ tal que la secuencia de $f_n(z)$ convergerán en cada conjunto compacto. Con algo más de esfuerzo se puede probar que la función de límite de $g(z)=1+z+ \mathcal{S}(z^2)$ tiene la propiedad deseada.

Answer 2

Creo que el concepto de 'orden de una función toda' puede ayudarle a obtener una respuesta.
(Vea la definición en W. Rudin : Ejercicio 2, Ch. 15 de ; o, alternativamente, aquí : Wiki - Toda la función )

Es decir, la totalidad de su función $f$ es claramente de orden infinito (bueno, al menos para k>1), mientras que la constante de funciones -como polinomios - son de entera funciones de orden cero ...

NB: por supuesto que no estoy considerando el caso trivial donde $G_k$ son constantes (y no-cero), en cuyo caso $f$ sería constante, así ...

Answer 3

Yo tenía otra idea para responder a este problema. Si tenemos en cuenta el límite de $h$ como $$h(z)=\lim_{k \+\infty}{\log_k(f(z))}$$ donde $\log_k$ denota la iterar logarithme (como de costumbre), podemos fácil demostrar que $h$ es acotada. De hecho, podemos considerar la compleja secuencia de $$z_0=a \in \mathbb{C}$$ $$z_{n+1}=\exp(z_n)$$ que converge para algunos puntos $a$. El conjunto de $a$ le da un fractal. Por lo tanto, si se demuestra que $h$ es holomorphic, podemos fácil concluir que $f$ es constante por parte del teorema de Picard. Por ejemplo, $h$ no toma valores reales ( $(z_n)$ diverge ).