Perímetros de las vallas: ¿por qué la intuición es errónea?

Question

Esto es de un problema de práctica del GRE.

"Un total de x pies de valla debe formar 3 lados de un patio rectangular nivelado. ¿Cuál es el área máxima en términos de x?"

Puedo hacer los cálculos y tomar la derivada para ver que el área se maximiza cuando la longitud es el doble de la anchura, dando así $x^2/8$ como respuesta. Sin embargo, no veo intuitivamente/geométricamente por qué esto debería ser cierto. La respuesta que tiene más sentido para mí es un cuadrado, es decir $x^2/9$ , ya que al menos "parece" que puede empezar con la longitud cero, y aumentar lentamente hasta que la longitud sea igual a la anchura, aumentando el área todo el tiempo. Para las vallas que rodean cuatro lados, la respuesta ES un cuadrado, y no entiendo la esencia de la diferencia entre estos dos casos diferentes. ¿Puede alguien ayudarme a entender mejor este problema?

Answer 1

Si el lado del rectángulo no cubierto por la valla fuera un espejo, entonces la valla junto con su reflejo debería resolver el problema de maximizar el área que un rectángulo con un perímetro de $2x$ pies pueden encerrar.

Si $W$ et $L$ son la anchura y la longitud del nuevo rectángulo, entonces $W+L=x$ Así que $W$ et $L$ puede escribirse como $W=\frac{x}{2}-t$ et $L=\frac{x}{2}+t$ para algunos $t$ entre $0$ et $\frac{x}{2}$ . Entonces $WL=\frac{x^2}{4}-t^2$ se maximiza cuando $t=0$ .

Answer 2

A grandes rasgos, este tipo de problemas suelen tener algún tipo de equilibrio y simetría. Como has dicho, cuando estás cercando los cuatro lados, cada lado debe tener la misma longitud. En este caso, sin embargo, dado que sólo estás cercando tres lados, utilizar la misma cantidad de esgrima en cada una de las dos direcciones significa que un lado tiene que ser el doble de largo que el otro.