Cómo mostrar $\mathbb{Q}(\alpha^{4})=\mathbb{Q}(\alpha)$?

Question

De Berkeley Problemas en Matemáticas, en la Primavera de 1999, el Problema 17.

Deje $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ ser un polinomio irreducible de grado $n\ge 3$. Deje $L$ ser la división de campo de la $f$, y deje $\alpha\in L$ ser un cero de $f$. Dar ese $[L:\mathbb{Q}]=n!$, demuestran que, a $\mathbb{Q}(\alpha^{4})=\mathbb{Q}(\alpha)$.

(A CONTINUACIÓN ES UNA TONTERÍA, DEBE SER IGNORADA)

Siguiente Gerry Myerson del consejo, ya que $L$ es la división de campo de la $f$, $L$ debe ser Galois sobre $\mathbb{Q}$. Así, el grupo de Galois de $[L:\mathbb{Q}]=S_{n}$. Gerry ahora afirma que cualquiera de las $\mathbb{Q}(\alpha^{4})$ es de grado 2 sobre racionales o debe ser $\mathbb{Q}$. Pero suponiendo que esta no se puede descartar el caso de $\mathbb{Q}$, ya que esto implicaría $\alpha$ es la raíz de un 4to y 2do grado del polinomio sobre $\mathbb{Q}$. Pero sabemos $n\ge 3$. Por lo $\alpha$ debe ser la raíz de un 4to grado del polinomio. Sabemos $S_{n}$ normal tiene subgrupos $A_{n}$ al $n\not=4$ $V,A_{4}$ al $n=4$. No sé cómo continuar.

Ahora asumiendo $\mathbb{Q}(\alpha^{4})$ es un grado 2 de abelian extensión de más de $\mathbb{Q}$. Se debe tener una cadena de normal extensiones $\mathbb{Q}(\alpha)\supset \mathbb{Q}(\alpha^{2})\supset \mathbb{Q}$. Esto implicaría $S_{n}$ tiene un subgrupo normal que tiene un subgrupo normal. Pero sabemos $A_{n}$ $n\ge 5$ son simples. Así que la única posibilidad es $\mathbb{Q}(\alpha)$ tiene un Galois grupo isomorfo a $V$. En este caso,$n=4$. Sólo puedo continuar aquí.

Answer 1

Quiero dar una solución que no necesitan saber nada acerca de la normal subgrupos de $S_n$:

Primera nota: $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{4})]\leq4$ desde $\alpha$ es una raíz de $x^{4}-\alpha^{4}\in\mathbb{Q}(\alpha^{4})[x]$.

Ahora no hay necesidad de dividir a los casos: Si el grado de la extensión es $1$ ya ha terminado, tenemos para mostrar que no puede ser $2,3,4$.

Si el grado de la extensión es $3$ desde $\mathbb{Q}(\alpha^{2})$ es un subextension tenemos $$3=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{4})]=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{2})][\mathbb{Q}(\alpha^{2}):\mathbb{Q}(\alpha^{4})]$$ por lo tanto, uno de los $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{2})],[\mathbb{Q}(\alpha^{2}):\mathbb{Q}(\alpha^{4})]$ es de grado $3$, lo que es claramente una contradicción ya que, por ejemplo, $\alpha$ es una raíz de $x^{2}-\alpha^{2}\in\mathbb{Q}(\alpha^{2})$.

si $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{2})]=2$, entonces hay $g(x)=x^{2}+ax+b\in\mathbb{Q}(\alpha^{2})$ s.t. $g(\alpha)=0$, pero a continuación, $g|f$ $\mathbb{Q}(\alpha^{2})[x]\implies f=gh$ donde $h\in\mathbb{Q}(\alpha^{2})[x],\deg(h)=\deg(f)-\deg(g)=n-2$.

Ahora, $f$ es irreductible ($\mathbb{Q})$ por lo tanto $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=\deg(f)=n$ por lo $[\mathbb{Q}(\alpha^{2}):\mathbb{Q}]=\frac{n}{2}$.

Denotar $M$ como la división de campo de la $h$$\mathbb{Q}(\alpha^{2})$, a continuación,$[M:\mathbb{Q}(\alpha^{2})]\leq(n-2)!$, también tenga en cuenta que desde $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{2})]=2$ $[M(\alpha):\mathbb{Q}(\alpha^{2})]\leq2(n-2)!$ y a partir de los avances de la línea de $[M(\alpha):\mathbb{Q}]\leq2(n-2)!\frac{n}{2}=(n-2)!n<n!$

Que es: $M(\alpha)$ es un campo más de $\mathbb{Q}$ que contiene todos los las raíces de $f$ y es de grado $<n!$, y esto es una contradicción.

De la misma manera de obtener una contradicción para el resto de los casos que son similares, se los dejo a ustedes para llenar el resto de los detalles (Estoy en una prisa para llegar a la clase).

Answer 2

Veamos un ejemplo. Deje $f(x)=x^3-2$. Usted debe ser capaz de trabajar de la división de campo, y ver que tiene grado 6 sobre los racionales. Si usted tiene cualquier problema en hacer esto, volver y háganoslo saber donde te quedas atascado.

EDIT: mucho de lo que escribí hace unas horas no estaba bien. Déjame intentarlo de nuevo.

$L$ es normal en los racionales, más de $K={\bf Q}(\alpha^4)$, y más de $E={\bf Q}(\alpha)$. El grupo de $L$ sobre los racionales es $S_n$, el grupo de $L$$E$$S_{n-1}$, por lo que el grupo de $L$ $K$ es un subgrupo $H$ $S_n$ contiene $S_{n-1}$. Estamos tratando de demostrar que $H=S_{n-1}$.

Podemos descartar $H=S_n$, como sigue. Si $H=S_n$, $\alpha^4=q$ es racional, y el polinomio mínimo de a $\alpha$ sobre los racionales es $x^4-q$ (o algún factor de que el polinomio), y no estamos hablando de un polinomio con grupo de Galois $S_n$.

Así que todos tenemos que demostrar es que no existe una adecuada subgrupo de $S_n$ correctamente contengan $S_{n-1}$, y hemos terminado. Y, hey, hay una prueba en m.se, así que hemos terminado.

Creo que lo que sigue puede omitirse.

De vuelta a la ${\bf Q}(\alpha^4)$ pregunta: si ${\bf Q}(\alpha^4)$ es un buen subcampo de ${\bf Q}(\alpha)$, luego de que los racionales o de grado 2 sobre los racionales. Es fácil descartar el primer caso (los detalles de izquierda a usted - tengo que enseñar una clase en un par de minutos). En el segundo caso, es normal en los racionales, y ${\bf Q}(\alpha)$ es normal en él, y que dice algo acerca de la normal subgrupos del grupo de Galois de $L$ que no encajan con ese grupo es el grupo simétrico, $S_n$ (que el grupo no tiene una gran cantidad de subgrupos normales).

Sé que me he dejado un montón. Espero que sea de alguna utilidad. Pero si no has hecho la Teoría de Galois, mi respuesta no va a hacer mucho por ti.