¿Varía el espacio tangente continuamente con los puntos en una variedad?

Question

Recientemente leí sobre variedades grassmanianas.

La siguiente pregunta surge naturalmente.

Sea $GR_k(\mathbf R^n)$ la variedad grassmaniana de subespacios lineales de dimensión $k$ de $\mathbf R^n$. Sea $M$ una $k$-variedad suave en $\mathbf R^n$. Defina una función $f:M\to M\times GR_k(\mathbf R^n)$ como $$f(\mathbf p)=(\mathbf p,T_{\mathbf p}M)$$ para todo $\mathbf p\in M$. ¿Entonces $f$ es continua? ¿También es suave?

(Todos nuestros espacios tangentes pasan por el origen. Por lo general, el punto en el que hablamos del espacio tangente también es importante. Pero dado que estamos trabajando en un espacio euclidiano, podemos trasladar todos ellos al origen).

No tengo idea de cómo demostrar o refutar lo anterior. ¿Alguien sabe si lo anterior es cierto? Si no es así, ¿hay algunas condiciones adicionales bajo las cuales lo anterior es cierto?

Nota:

Imagine una partícula moviéndose en el espacio tridimensional. Podemos preguntarnos si la partícula se está moviendo "continuamente" en el espacio. Si $f:\mathbf R\to\mathbf R^3$ es una función tal que en el tiempo $t$ la partícula está en $f(t)$, entonces decimos que la partícula se está moviendo continuamente con el tiempo si la función $f$ es continua.

De manera similar, tenemos una noción intuitiva de una varilla rígida infinita (básicamente una línea) moviéndose continuamente en el espacio bidimensional o tridimensional. Para hacer esta noción precisa, podemos usar el concepto del espacio proyectivo real. Supongamos que en el tiempo $t$, la línea se designa como $L(t)$. Decimos que la línea se está moviendo continuamente con el tiempo si la función $f:\mathbf R\to \mathbf RP^3$ definida como $f(t)=L(t)$ es continua.

Las variedades Grassmann generalizan estas nociones de "planos moviéndose continuamente (o suavemente)" en espacios euclídeos.

Answer 1

Para una parametrización $\phi\colon U \to X$

$$\phi(u) = ( \phi_1, \ldots, \phi_n)(u_1, \ldots, u_k)$$

el espacio tangente en cualquier punto $\phi(u)$ tiene una base $$\{\frac{\partial \phi}{\partial u_1}, \ldots, \frac{\partial \phi}{\partial u_k}\}$$

(como la manera antigua buena cuando calculas $E$, $F$, $G$ para una superficie)

Esto da un mapa suave de $U$ a la variedad de marcos, que luego se proyecta a un mapa del Grasmaniano.

Ahora el mapa $U\to X$ es un difeomorfismo local. Entonces obtienes $f_{|\phi(U)}\colon \phi(U) \to \mathbb{R}^n \times G_{n,k}$ suave. Localmente suave implica suave.

Alternativamente, si $X$ está descrito localmente por $f_1=0, \ldots f_{n-k}=0$ con el jacobiano $(\frac{\partial f_i}{\partial x_l})$ de rango $n-k$ alrededor de algún punto, entonces el espacio tangente en un punto $x$ está dado por todos los vectores $v =(v_1, \ldots v_n)$ tales que $\nabla f_j \cdot v = 0$ , $\ j = 1, \ldots n-k$

Nota: Para obtener espacios tangentes (y cotangentes) necesitas derivadas parciales.

Pensándolo bien, si tenemos una parametrización local de la variedad, las coordenadas del Grasmaniano de los planos tangentes son los menores principales del jacobiano ( $\binom{n}{k}$ de ellos).