He intentado probar el teorema en el avance en el nivel que me satisfaga. La notación utilizada puede no ser correcta, pero espero que todos los principales pasos son correctos.
DEFINICIÓN (de Apostol del Cálculo I):
Deje $f$ ser una función es integrable en a $[a,x]$, para cada una de las $x$$[a,b]$. Deje $c$ ser tal que $a \le c \le b$ y definir una nueva función $A$ como sigue: $$A(x) = \int_c^xf(t)dt, a \le x \le b$$ A continuación, el derivado $A'(x)$ existe en cada punto de $x$ en el intervalo abierto $(a,b)$ donde $f$ es continua, y por $x$ hemos $$A'(x) = f(x).$$
PRUEBA:
Voy a demostrar que el teorema es una consecuencia de la propiedad de continuidad de la función en algún punto.
Primero hacemos algunas derivaciones. Por simplicidad vamos a suponer que $h$ es positivo. La prueba negativa $h$ es de no más difícil.
$$A'(x) = \lim_{h\to0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\int_c^{x+h}f(t)dt - \int_c^{x}f(t)dt}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}{h}$$
Desde $f$ es continua en a $x$, para cualquier número $\epsilon$ hay algo de $\delta$, de tal manera que cuando se $t \in [x-\delta, x+\delta]$,
$$f(x) - \epsilon \le f(t) \le f(x) + \epsilon$$
Entonces para cualquier $h < \delta$,
$$\int_x^{x+h} [f(x) - \epsilon]dt \le \int_x^{x+h} f(t)dt \le \int_x^{x+h} [f(x) + \epsilon]dt$$
$$[f(x) - \epsilon]h \le \int_x^{x+h} f(t)dt \le [f(x) + \epsilon]h$$
$$f(x) - \epsilon \le \frac {\int_x^{x+h} f(t)dt}{h} \le f(x) + \epsilon$$
Que puedo hacer $\epsilon$ tan pequeño como sea posible, por lo tanto
$$\lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}{h} = A'(x) = f(x)$$
