Hilbert esquema de puntos en una superficie compleja

Question

Yo no sé acerca de los esquemas y cada definición de un esquema de Hilbert (naturalmente!) implica esquemas. Pero, el esquema de Hilbert de puntos en una superficie compleja es conocido por ser suave (Fogarty). Entonces, ¿hay una descripción concreta de la misma, como un complejo de colector? (Por ejemplo, en el caso de n=2 es una explosión de XxX a lo largo de la diagonal)

Answer 1

En realidad, la construcción del esquema de Hilbert no tiene que involucrar a los esquemas en todos. Para $\mathbb{C}^2$, es sólo el espacio de los ideales de codimension $d$$\mathbb{C}[x,y]$. Eso es suficiente para decir lo que es, como un espacio topológico como un subespacio de todos los codimension $d$ subespacios.

Answer 2

Dado un codimension $d$ ideal $I$$R = {\mathbb C}[x,y]$, el cociente del anillo de $R/I$ puede ser considerado como un $d$-dimensional espacio vectorial con las acciones de los dos desplazamientos de los operadores de $x,y$ y un "cíclica" vector $1$ que genera como un $R$-módulo.

Por consiguiente, si la superficie es el plano que usted puede pensar en el esquema de Hilbert como el espacio de los pares de matrices que conmutan en $d$-espacio, pero, a continuación, tomar la (abierto) establecer allí de pares $(x,y)$ que admiten un vector cíclico, y luego dividir esa variedad por la conjugación de la acción de $GL(d)$. A ver suavidad, usted podría mostrar este conjunto abierto es suave, luego de que el $GL(d)$ acción es libre y adecuado.

Todo esto se explica en detalle en Nakajima del libro (que supongo es el que Andrea Ferretti significaba para referencia), excepto que creo que muestra la suavidad mediante el análisis de la tangente espacios.

Answer 3

Aquí está una descripción geométrica en el caso de $H_n(\mathbb{C}^2)$. Este está destinado a ser un geométrica de la reescritura de la Proposición 2.6 en Marcos Haiman "(t,p)-catalán números y el esquema de Hilbert", La Matemática Discreta. 193 (1998), 201-224.

Deje $S= (\mathbb{C}^2)^n/S_n$; aviso que este es un orbifold. Deje $S_0$ ser abierto denso conjunto donde la $n$ puntos son distintos. Para $D$ $n$- elemento subconjunto de $\mathbb{Z}_{\geq 0}^2$, vamos a $A_{D}$ ser el polinomio $\det( x_i^{a} y_i^{b})$ donde $(a, b)$ rangos de los elementos de la $D$ $i$ pistas de$1$$n$. Para cualquier $D$$D'$, la proporción $A_D/A_{D'}$ es una función de meromorphic en $S$, y está bien definido en $S_0$.

Mapa de $S_0$ a $S_0 \times \mathbb{CP}^{\infty}$ donde las coordenadas homogéneas en $ \mathbb{CP}^{\infty}$ $A_{D}$'s. (Sólo un número finito de la $A_D$'s son necesarios, pero sería un poco de tiempo para decir cuáles.) El esquema de Hilbert es el cierre de $S_0$$S \times \mathbb{CP}^{\infty}$.

Algebraicamente, podemos describir esto como el golpe de $S$ a lo largo del ideal generado por todos los productos de $A_D A_{D'}$. Haiman señala que la reducción de este ideal, que es el lugar donde dos de los puntos que chocan y se especula que este ideal puede ser reducido. Si su especulación es correcta, entonces podemos describir $H_n(\mathbb{C}^2)$ geométricamente como el golpe de $(\mathbb{C}^2)^n/S_n$ a lo largo de la reducción de locus donde al menos dos de los puntos son iguales.

Answer 4

Hay un "concreto" descripción del esquema de Hilbert de puntos en las superficies en el libro de Nakajima. Que yo recuerde no utilizar la maquinaria general de Hilbert esquemas.