El orden de la serie de los enteros pares de satisfacer ciertas aritmética función de las relaciones

Question

Esta pregunta es un seguimiento a este excelente matemáticas stackexchange pregunta.

Deje que $\mu(n)$ ser la función de Möbius, $\phi(n)$ de Euler totient función $\sigma(n)$ la suma de los divisores de la función y $\tau(n)$ el número de divisores de función. Definir el conjunto de $S_N,$ por un número natural $N,$ por

$$S_N = \lbrace (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mediados de los m \ne n, \, \mu(m)=\mu(n), \, \phi(m)=\phi(n),$$ $$\sigma(m)=\sigma(n), \, \tau(m)=\tau(n) \textrm{ y } \text{max} \lbrace m,n \rbrace \le N \rbrace .$$

¿Qué tan grande es el conjunto de $ S_N $ ?

Answer 1

Como todos los de $\mu$, $\tau$, $\phi$ y $\sigma$ son multiplicativos, si $(a,b)$ es un par y $n$ es primo relativo a $ab$ a $(an,bn)$ es otro par. Así que, como hay al menos un par que hay un número infinito de ellos, y de $N$ lo suficientemente grande que existe una constante C tal que hay al menos $CN$ pares. También, si $(c,d)$ es otro ejemplo de par con $(c,d)$ con $cd$ relativamente primos a $ab$ a $(ac,bd)$ y $(ad,bc)$ son más pares.

Si definimos una primitiva de par en par que no puede ser descompuesto como arriba, entonces sospecho que hay un número infinito de primitivas de pares, pero no tengo idea de cómo demostrarlo.

Edit: En la respuesta a esta pregunta de los pares {1836, 1824), {5236, 4960}, {5742, 5112}, {6764, 6368}, {9180, 9120} y {9724, 9184} se encuentran por lo que hay al menos a un par.

Agregó

Para motivar a la intuición de que probablemente hay un número infinito de primitivas pares, aquí es un simple algoritmo para el cálculo de relativa primer pares:

1. Elegir un conjunto de pequeños primos $B$ (por ejemplo, los números primos de menos de 20)
2. Calcular un conjunto de números primos P $$ tal que $p\in P$ tanto $\sigma(p)=p+1$ y $\phi(p)=p-1$ factor completamente el uso de los números primos en $B$
3. Para cada uno de los prime en $P$ crear una variable $X_p$, donde $X_p=1$ si $p|m$, $X_p=-1$ si $p|n$ y $X_p=0$ lo contrario.
4. Cada uno de los miembros de la $B$ crea 2 lineal restricciones de igualdad a los $X_p$ y vamos a añadir otra limitación $\sum_{p\P}X_p = 0$ limitante $m$ y $n$ a tienen el mismo número de factores primos. Ya que son cuadrados libres y tienen el mismo número de factores primos, tanto $\mu$ y $tau$ será igual.
5. Enumerar los $\{-1,0,1\}^k$ entramado de puntos que satisfacen las restricciones. Estas se dan los factores primos de $m$ y $n$.

En teoría el paso 5 puede ser problemático, en la práctica, es fácil encontrar muchos. Por ejemplo, dejar que $B$ a ser los números primos menos de 20, dejando que $P$ ser la clasificación de los números primos menos de 1000, podemos obtener rápidamente cientos de pares, el más pequeño de los cuales son: (15265, 15169), (27962, 26355), (30199, 30217), (64255, 63791), (66526, 62535) (72713, 72703), (89089, 89585), (149739, 145915), (166315, 165319), (182942, 171795), (233597, 235135), (307021, 307951), (344137, 344129), (392227, 391859), (483769, 485317), (622599, 605815), (873301, 876211), (967759, 968297),

Se deja como ejercicio para el lector que se extienden de este a no la plaza libre de los pares.

Como el tamaño de los $P$ parece a crecer mucho más rápido que $B$ es plausible que vamos a generar nuevos pares a medida que crecemos $B$.