Orientability de $\mathbb{RP}^3$

Question

Me preguntaba si hay una buena manera de ver que $\mathbb{RP}^{3}$ es orientable sin el uso de herramientas de topología algebraica, como la homología.

El único que yo podía pensar era en argumentar que $\mathbb{RP}^{3}=\mathbb{R}^3 \cup \mathbb{RP}^{2}$ y tal vez se podría argumentar que para volver a cualquier posición de partida tiene que cruzar la $\mathbb{RP}^{2}$ límite pero estoy bastante seguro de que lo que estoy pensando es una tontería.

Se trata de una pregunta sobre la tarea para uno de mis cursos de temas y tengo la intención de pedir a la profesora acerca de la mañana, pero tenía curiosidad por ver si alguien tenía algún interesantes maneras de pensar o imaginarse de este espacio.

Answer 1

La orientación en la universalización de la cobertura, $S^3$, desciende. Toma algo de la comprobación de los detalles, pero usted puede hacer para $\mathbb{R}P^n$ exactamente de la misma manera para $n$ impar. En realidad, mucho más general, si usted tiene una cubierta $\pi: X\to B$, e $Aut_\pi (X)$ es cíclico y generadas por algunos orientación de la preservación de diffeo $f: X\to X$, entonces si $X$ es orientable, la orientación descenderá a $B$. En este caso, el diffeo es el antipodal mapa, que es la orientación de la preservación en $S^n$ si y sólo si $n$ es impar.

Answer 2

También se puede ver que $\mathbb{R}P^3$ es una Mentira grupo, y que se encuentran todos los grupos son orientables.

A ver que $\mathbb{R}P^3$ es una Mentira grupo, lo primero que piensa de $S^3$ como la colección de la unidad de cuaterniones. El subconjunto $\{1,-1\}$ es no sólo un subgrupo, pero es un subgrupo normal de $S^3$. Por lo tanto, $S^3/\{1,-1\}$ es una Mentira grupo. De hecho, la elmement -1 actúa como el antipodal mapa. (Resulta, que como una Mentira grupo, $\mathbb{R}P^3$ es isomorfo a $SO(3)$, el 3x3 real de las matrices de satisfacciones $AA^t = A^tA = Id$.)

Por qué es cada (componente conectado de una) se encuentran grupo orientable? Bueno, supongamos $G$ es un (conectado) se encuentran en grupo con identidad $e$. En la identidad, elija cualquier ordenó base $e_i$ $T_e G$ (es decir, elegir una orientación en el espacio vectorial $T_e G$. Para averiguar qué es lo que la orientación en el $g\in G$ debe ser, observe el mapa de $L_g:G\rightarrow G$ $L_g(h) = gh$ mapas de $e$$g$. De ahí su diferencial $d_e L_g$ mapas de $T_e G$$T_g G$.

El mapa de $L_g$ es en realidad un diffeomorphism (con inverse $L_{g^{-1}}$), por lo que el mapa de $d_e L_g$ debe ser también un isomorfismo. Ahora, simplemente tome como un ordenado base $d_e L_g e_i$.

Answer 3

$RP3$ puede ser representado como un tres dimensiones de la bola de $D3$ con el antipodal puntos de la delimitación de la esfera identificado. Uno puede dibujar un pequeño lazo en la superficie de la delimitación de la esfera y de calcular la dirección de la normal de acuerdo a la regla de la mano derecha. Ahora, realizar el mismo cálculo para el antipodal de bucle, la normal tendrá la misma dirección. Por lo tanto no es una constante elección de la normal. Observe que el mismo argumento se producirá en el caso de la nonorientable $RP^2$.

Answer 4

$RP^{2k-1}$ es un cociente de un codimension 1 submanifold con la inducción de orientación ($S^{2k-1}$)$R^{2k}$, por una orientación de la preservación de la transformación de $R^{2k}$. Porque hay una noción de vector normal (es decir, de "dentro" y "fuera") en el submanifold, conservando la orientación de los alrededores de colector también preserva la orientación en el submanifold. El transporte de la orientación a lo largo de un camino entre dos puntos de la submanifold que se identifican en el cociente puede ser visto como el transporte de la orientación en los alrededores del colector, y esto ha de ser coherente (positivos determinante en el local marcos), debido a la orientability de los alrededores del colector.