$\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos^2(nt) \,dt$?

Question

Deje $f \in C[-\pi,\pi]$.

Encontrar el siguiente límite:

$$\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos^2(nt)\,dt\,?$$

Answer 1

$$ \cos^2 nx=\frac{1+\cos 2nx}{2}, $$ y por lo tanto $$ \int_{-\pi}^\pi f(x)\,\cos^2 nx\,dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx+ \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\cos 2nx\,dx $$ La segunda integral tiende a cero debido a Riemann-Lebesgue Lema, y por lo tanto $$ \lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\cos^2 nx\,dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx. $$