Cómo encontrar esta $\lim_{n\to\infty}a_{n}$

Question

vamos secuencia $\{a_{n}\}$,$a_{1}=2\pi-6$, y $$a_{n}=\left\lceil\dfrac{2\pi}{a_{n-1}}\right\rceil\cdot a_{n-1}-2\pi$$

Encontrar el $$\lim_{n\to\infty}a_{n}$$

donde $\left\lceil\dfrac{2\pi}{a_{n-1}}\right\rceil$es el entero más pequeño que no menos de $\dfrac{2\pi}{a_{n-1}}$

Yo: ya $$a_{n}>0,\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=\lceil\dfrac{2\pi}{a_{n-1}}\rceil-\dfrac{2\pi}{a_{n-1}}\le 1$$ y entonces no puedo Encontrar este límite,y tal vez bueno de otros métodos,

Muchas gracias

Answer 1

$a_1 > 0$ $\bigg\lceil\frac{2\pi}{a_n}\bigg\rceil \ge \frac{2\pi}{a_n}$ . Por inducción se puede demostrar fácilmente que $a_n >0 \, \forall \, n \in \mathbb N$.

Como se demostró, si $a_n >0$, entonces la sucesión es estrictamente decreciente.

Sigue siendo para demostrar que el límite real es de $0$, una conjetura razonable.

Utilizando el hecho de que la sucesión es estrictamente decreciente y estrictamente positivo, usted sabe que la secuencia tiene un único límite.

El límite va a resolver la ecuación de $a = \big\lceil\frac{2\pi}{a}\big\rceil a - 2\pi$ que puede ser reescrita como : $$\bigg\lceil\frac{2\pi}{a}\bigg\rceil - \frac{2\pi}{a} = 1$$

Esto no tiene solución para cualquier $a_1 > a > 0$ por lo que el límite no es estrictamente positivo.

Por lo que el límite es $0$.

Quizás sea más fácil (sólo pensé acerca de ello), $$\lim_{a_n\to0} \bigg\lceil\frac{2\pi}{a_n}\bigg\rceil a_n - 2\pi= 0$$ por lo tanto, $0$ es un límite. Ya que el límite es único, es $\underline{\text{the}}$ límite.

Otra forma de pensamiento de hacer esto es utilizar el teorema del sándwich. Estoy seguro de que hay una manera de hacerlo.

Answer 2

Si hay un (distinto de cero) límite, debe satisfacer $$a = \lceil\frac{2\pi}{a}\rceil a - 2\pi,$$ que debería tener una solución (que estoy teniendo algunos problemas para encontrar).