Expresar un polinomio simétrico en términos de primaria simétrica polinomios usando la computadora?

Question

¿Hay algún equipo de álgebra sistemas con la funcionalidad que me permita entrar en una explícita polinomio simétrico y tiene que devolver ese polinomio en términos de la primaria simétrica polinomios? Puedo hacer esto en sage? ¿Cómo lo hago? Gracias.

Answer 1

En Arce, es

convertir(..., elsymfun);

Por ejemplo:

convertir((x^2+y+z)(y^2+x+z)(z^2+x+y),elsymfun);

$$\left( x+y+z \right) ^{4}-3\, \left( x+y+z \right) ^{2} \left( xz+xy+ yz \right) -2\, \left( x+y+z \right) ^{2}xyz+ \left( x+y+z \right) \left( xz+xy+yz \right) ^{2}+ \left( x+y+z \right) \left( xz+xy+yz \right) +4\, \left( x+y+z \right) xyz- \left( xz+xy+yz \right) xyz+{x }^{2}{y}^{2}{z}^{2}-xyz $$

Answer 2

Existe un algoritmo (debido a Gauss) que es tan simple que puede ser ejecutado por la mano (o fácil de programar). Es un caso especial de Gröbner base de las técnicas de reducción (el primer uso conocido de lexicográfica del orden en el plazo de reescritura). Para más detalles y referencias de ver este post.

Answer 3

Mathematica es sin duda capaz de hacer esto, con un uso juicioso de las funciones SymmetricReduction[] y SymmetricPolynomial[]. (Como ya se señaló en el post enlazado a las Matemáticas Gemas, Cox/Poco/O'Shea tener una descripción del algoritmo para la realización de dicha reducción.)

Para usar el mismo ejemplo de Robert:

SymmetricReduction[(x^2 + y + z)(y^2 + x + z)(z^2 + x + y),
                   {x, y, z}, C /@ Range[3]] // First
C[1]^4+C[1] C[2]-3C[1]^2 C[2]+C[1] C[2]^2-C[3]+4C[1] C[3]-
      2C[1]^2 C[3]-C[2] C[3]+C[3]^2

Aquí, C[1], C[2], C[3] stand-in para $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$. El First[] es necesario para devolver sólo el "simétrica parte" de la multivariante polinomio, ya SymmetricReduction[] está equipada para devolver la parte simétrica y el resto de un multivariante polinomio.

Si uno quiere una expresión explícita que involucran sólo a las variables, se puede omitir el tercer argumento:

SymmetricReduction[(x^2 + y + z) (y^2 + x + z) (z^2 + x + y),
                   {x, y, z}] // First
-x y z + x^2 y^2 z^2 + 4 x y z (x + y + z) - 2 x y z (x + y + z)^2 +
(x + y + z)^4 - x y z(x y + x z + y z) + (x + y + z)(x y + x z + y z) - 
 3 (x + y + z)^2 (x y + x z + y z) + (x + y + z) (x y + x z + y z)^2

Answer 4

En Sage, si $p$ es el polinomio para convertir

Sym = SymmetricFunction(QQ)
e = Sym.elementary()
f = Sym.from_polynomial(p)
e(f)