La notación para la densidad de probabilidad

Question

En uno de mis otras preguntas aquí, me ha criticado, y con razón, como fue la fuente de mi error) para el uso de esta notación para una variable aleatoria continua $X$ con pdf $f(x)$: $$\mathbb{P}\{X\in dx\} = f(x) \mathop{dx} .$$ Me enseñaron esta notación por mi maestro. El propósito de esta notación es para subrayar el hecho de que, técnicamente, $\mathbb{P}\{X=x\}=0$ si $X$ es continua. Creo que la notación es la abreviatura de $\mathbb{P}\{X\in [x, x+dx)\} = f(x) \mathop{dx}$.

Pues solo estoy familiarizado con esta notación y no sé que otras personas no lo uso, lo agradecería muchísimo si alguien me pudiera dar un mejor sentido de lo que la notación es más aceptados y utilizados. Es el $f$ $F$ la notación de pdf y cdf respectivamente ampliamente utilizado?

Dado un pdf $f(x)$ para una variable aleatoria continua $X$, su cdf es $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt=\mathbb{P}\{X<x\}$ ((gracias por la captura de la errata, André!), que corresponde a la discreta caso de que $F(x) = \sum_{k=0}^x f(x) = \mathbb{P}\{X\le x\}$. Hay sólo no continua analógica para la expresión discreta de $\mathbb{P}\{X=x\}=f(x)$? Un consejo que me dieron por otro usuario fue lidiar principalmente con cdf y no con archivos pdf.

Gracias de antemano y pido disculpas si este no era el lugar correcto para hacer esta pregunta.

Answer 1

La notación $\mathbb P(X\in\mathrm dx)=f_X(x)\mathrm dx$ es raro, incluso como un atajo, ya que $\mathrm dx$ sólo puede significar un intervalo infinitesimal cerca de $0$, y quiere indicar un intervalo de al $x$ o alrededor de $x$. La notación $\mathbb P(X=x)=f_X(x)$ es, por supuesto, absurdo, ya $\mathbb P(X=x)=0$ al $f_X$ existe. La notación $\mathbb P(X\in(x,x+\mathrm dx))=f_X(x)\mathrm dx$ está bien (y ampliamente utilizado). Personalmente creo que no sería demasiado exigente con el uso de $(x,x+\mathrm dx)$ o $[x,x+\mathrm dx)$ como el intervalo infinitesimal aquí, ya que, de todos modos, estos son sólo semi-riguroso shorthands.

Answer 2

La notación $F_X$ es muy ampliamente utilizado para representar la función de distribución acumulativa (cdf) de una variable aleatoria $X$, y se define como:$F_X(x)=P[X\le x]$. Esto es válido si o no $X$ es absolutamente continua. La función de densidad de probabilidad, $f_X$, es el único bien definido al $X$ es absolutamente continua, en cuyo caso $F_X$ es diferenciable y $f_X=F'_X$. Sólo en este caso, su abreviatura es legítimo, porque $$ f(x)=F'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}P[X > x \wedge X\le x+\Delta x]. $$ En términos de la cdf, la probabilidad de que $X$ toma en un determinado valor de $x$ es $$ P[X=x]=P[X\le x]\lim_{y\rightarrow x}P[X\le y]=F_X(x)-F_X(x), $$ es decir, la diferencia entre el $F_X$'s de valor en $x$ y su valor de limitación de acercarse $x$ de los de abajo. Por supuesto, esto sólo puede ser distinto de cero si $F_X$ tiene un componente discreto.