Es I-ádico de finalización de un anillo epimorphism?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y deje $I \subset R$ ser un ideal. Para cualquier $n \ge 1$, el anillo homomorphism $R \rightarrow R/I^n$ es surjective, por tanto, un epimorphism en la categoría de anillos. ¿Qué acerca de la natural mapa de $R \rightarrow \hat{R_I}:=\lim_n R/I^n$ $I$- ádico de la finalización de $R$? Este mapa ya no surjective, pero es sin embargo una epimorphism?

Si no es una epimorphism en general, entonces yo también estaría interesado en escuchar acerca de las clases de anillos para el que es un epimorphism. Por ejemplo, es para el p-ádico enteros?

Answer 1

(1) Si $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p$ fue un epimorphism, esto implicaría que $\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}_p \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_p$ es un epimorphism. Pero $\mathbb{Q}$ es un campo y $\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}_p$ no es surjective, así que esto es una contradicción.

(2) yo creo que el $R \to \widehat{R}_I$ casi nunca es una epimorphism.

(3) Véase aquí para una clasificación de epimorphisms $\mathbb{Z} \to A$.

(4) Existe un seminario sobre epimorphisms de anillos conmutativos. Por ejemplo, la Prop. 1.5 en D. Lazard "Epimorphismes plats" nos dice que el $f : A \to B$ es un epimorphism de anillos conmutativos si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

• $\mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A), \mathfrak{p} \mapsto f^{-1}(\mathfrak{p})$ es inyectiva
• Por cada primer ideal $\mathfrak{p}$ $B$ natural, de las map $Q(A/f^{-1}(\mathfrak{p})) \to Q(B/\mathfrak{p})$ es un isomorfismo.
• El kernel $J = \ker(B \otimes_A B \xrightarrow{*} B)$ es un finitely generadas $B \otimes_A B$-módulo de con $J = J^2$.

La segunda condición de falla por $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p$ si tomamos $\mathfrak{p}=0$.