En las raíces de $2z-\sin(2z)$

Question

Recientemente he estado trabajando en un método para numéricamente encontrar las raíces de la ecuación $$ 2z-\sin(2z)=0$$

Como se puede ver abajo, yo era capaz de encontrar todas las raíces en una específica, delimitada de dominio

Hasta ahora tan bueno. Sin embargo, tengo algunas observaciones, que me hace formular algunas declaraciones, de las que no estoy seguro si son correctos.

1. Los ceros de la mentira en un fijo de la curva por cuadrante.

Yo ahora que si $z$ es un cero, que así se $z^*$ (el conjugado), $-z$$-z^*$. Esto limita mi raíz encontrar a un cuadrante (velocidad de factor 4 ¡hurra!). Pero, es cierto que no hay ceros fuera de este 'curva'?

2. Los ceros a una asíntota

Considerando una curva, me da la sensación de que, la numeración de las raíces $z_n$ en el aumento de la distancia desde el origen,

$$ \lim_{n\to\infty} Re(z_n)-Re(z_{n-1})=\pi.$$

Y, tal vez, pero menos convencido

$$ \lim_{n\to\infty} Im(z_n)-Im(z_{n-1})=0.$$

¿Hay pruebas para cualquiera de las afirmaciones anteriores? No me pierdas ningún exacta, la forma cerrada de la solución al problema?

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, sólo realmente responde a la primera pregunta. No cabría en un comentario, así que voy a poner aquí (es esto lo correcto?).

Escribir $z = a+bi$. Tenga en cuenta que $\sin(a+bi) = \sin a \cosh b +i\cos a \sinh b$. Esto significa que $\sin z = z$ es equivalente al sistema de ecuaciones $$a = \sin a \cosh b$$ $$b = \cos a \sinh b.$$ Si dividimos la primera ecuación por $\cosh b$ y el segundo por $\sinh b$, y el uso de $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, obtenemos $$\left(\frac{a}{\cosh b}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sinh b}\right)^2 = 1.$$ Esto nos permite escribir $a^2 = \cosh^2 b - b^2 \coth^2 b$. Esta curva se parece a esto: (la imagen es por medio de la ecuación que viene de $\sin 2z = 2z$, no $\sin z = z$, por lo que se puede comparar a la de sus puntos; se parece a un acuerdo muy bien). Esto responde a tu primera pregunta: los puntos que están confinados a una curva y usted no va a encontrar fuera de ella. Sin embargo, no nos dice nada acerca de que la solución radica en la curva.

Usted puede hacer algo similar por tomar el sistema de ecuaciones y dividiendo por $\sin a$ $\cos a$ y el uso de la identidad de $\cosh^2 b - \sinh^2 b = 1$, lo que nos da $b^2 = a^2 \cot^2 a - \cos^2 a$. Podemos representar esta junto con la anterior curva para obtener una mucho menos agradable de aspecto de la imagen (sólo estoy trazando los valores positivos para $b$ aquí para obtener más claro de la imagen): .
Me gustaría ser un poco más escéptico de esta parcela de la otra, ya que esta función se comporta de manera errática. Esto nos da una condición necesaria para que nuestras raíces; ellos tienen que estar en las intersecciones de la foto. Sin embargo, realmente no puedo pensar en cómo encontrar, precisamente, que las intersecciones son raíces de la ecuación.

Por supuesto, si usted puede demostrar que las partes reales son uniformemente espaciados en el límite, considerando la derivada de la primera curva, es fácil ver que el límite de$\operatorname{Im}(z_n) - \operatorname{Im}(z_{n-1})$$0$.

---