Estoy trabajando en la siguiente pregunta. Implica encontrar una prueba para una identidad trigonométrica utilizando álgebra lineal. La prueba es uno que involucra $sin(\alpha +\theta)$$cos(\alpha +\theta)$, como se verá. Voy a pasar por donde yo estoy, para progresar a través de cada parte de la pregunta.
Deje $T_{\alpha}$ ser la transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$ cual es la rotación de counterclockwiseby $\alpha$, e $T_{\theta}$ la rotación en sentido antihorario por θ.
(A) Escriba la norma de matrices para $T_{\alpha}$$T_{\theta}$, explique su razonamiento.
Deje que la matriz estándar para $T_{\alpha}$ $A$ y dejar que la matriz estándar para$T_{\theta}$$B$, luego
$$A=\begin{bmatrix} \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \\ \end{bmatrix}$$
y
$$B=\begin{bmatrix} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) \\ \end{bmatrix}$$
En la siguiente parte de la cuestión.
(B) Explicar qué es la transformación lineal $T_{\alpha} \circ T_{\theta}$,$\mathbb{R}^2$.
Es la primera gira de un punto dado por $\alpha$ grados y, a continuación, gira el punto dado por $\theta$ grados.
(C) Calcular la matriz de $T_{\alpha} \circ T_{\theta}$ multiplicando las matrices de $T_{\alpha}$ $T_{\theta}$
Así,
$$AB = \begin{bmatrix} \cos (\alpha)\cos (\theta) - \sin (\alpha) \sin (\theta) & -\cos (\alpha)\sin (\theta) - \sin (\alpha) \cos (\theta) \\ \sin (\alpha)\cos (\theta) + \cos (\alpha) \cos (\theta) & -\sin (\alpha)\sin (\theta) + \cos (\alpha) \cos (\theta) \\ \end{bmatrix}$$
(D) Por otro lado, a partir de la descripción en la parte (b), puede escribir directamente hacia abajo la matriz de $T_{\alpha} \circ T_{\theta}$. ¿Qué es eso de la matriz?
Si dicha matriz es $C$, luego
$$C=\begin{bmatrix} \cos (\alpha + \theta) & -\sin (\alpha + \theta) \\ \sin (\alpha + \theta) & \cos (\alpha + \theta) \\ \end{bmatrix}$$
(E) Dado que las matrices de las partes (c) y (d) se describen la misma transformación lineal, que debe ser igual. Lo identidades entre el pecado y la cos por lo tanto debe ser verdad?
Así que debe establecer $AB=C$. Entonces
$$\begin{bmatrix} \cos (\alpha)\cos (\theta) - \sin (\alpha) \sin (\theta) & -\cos (\alpha)\sin (\theta) - \sin (\alpha) \cos (\theta) \\ \sin (\alpha)\cos (\theta) + \cos (\alpha) \cos (\theta) & -\sin (\alpha)\sin (\theta) + \cos (\alpha) \cos (\theta) \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos (\alpha + \theta) & -\sin (\alpha + \theta) \\ \sin (\alpha + \theta) & \cos (\alpha + \theta) \\ \end{bmatrix}$$
Estas son las identidades que yo estaba buscando! Ahora la siguiente parte me tiene preocupado.
El uso de una idea similar, encontrar fórmulas para $\sin(3\theta)$ $\cos(3\theta)$ en términos de$\sin(\theta)$$\cos(\theta)$.
Ahora no estoy completamente desesperado - yo era capaz de llegar con este bit siguiente. Pero no estoy seguro de si he hecho las cosas correctamente.
Voy a utilizar la transformación $T_{\theta}$ de los de antes. La matriz estándar es
$$A=\begin{bmatrix} \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \\ \end{bmatrix}$$
Pensé que tal vez si me transformó un punto de tres veces gírelo $3\theta$ grados, yo.e con una matriz estándar $AAA$. El resultado fue $$AAA=B$$ $$=$$$$ \begin{bmatrix} \cos^{3}(\theta)-\cos(\theta)\sin^2(\theta)-2\cos(\theta)\sin^2(\theta) & -\sin(\theta)\cos^2(\theta)+\sin^3(\theta)-2\cos^2(\theta)\sin(\theta) \\ 2\sin(\theta)\cos^2(\theta)-\sin^3(\theta)+\cos^2(\theta)\sin(\theta) & -2\sin^3(\theta)\cos(\theta)-\sin^2(\theta)cos(\theta)+\cos^3(\theta)\ \\ \end{bmatrix}$$
Como antes, yo diría que $AAA$ es igual a una matriz de transformación
$$A'=\begin{bmatrix} \cos (3\alpha) & -\sin (3\alpha) \\ \sin (3\alpha) & \cos (3\alpha) \\ \end{bmatrix}$$
A continuación, ajuste de $A'=B$ resultaría en algunas identidades. Ellos sólo parecen bastante largo y no estoy seguro de si lo que he hecho es correcto o cheques. Cualquier ayuda se agradece.
