Es posible elementarily parametrizar un círculo sin el uso de funciones trigonométricas?

Question

Sólo por curiosidad: ¿Es posible parametrizar un círculo completo o parte de uno con funciones elementales, pero sin el uso de funciones trigonométricas? Si es así, ¿cuáles son las ventajas/desventajas en comparación con el estándar el proceso de parametrización mediante$\cos(t)$$\sin(t)$?

Answer 1

Usted puede utilizar el hecho de que $(1+it)/(1-it)$ tiene abs valor de 1. Así: $$x(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}\ \ , \ \ \ y(t) = \frac{2t}{1+t^2}$$ da una parametrización para $S^1$ menos un punto de $(-1,0)$ (el límite de $t\rightarrow \infty$).

Hay una aplicación no trivial en tomar un sesgo de simetría (o más en general, contra auto adjunto de la matriz, o el operador) $S$ sobre un espacio de Hilbert $H$ y producirá los siguientes ortogonal/unitario matriz: $$U = (1+S) (1-S)^{-1}$$ También se utiliza en el llamado de Cayley de transformación (ver wiki) para analizar por ejemplo, unbounded selfadjoint operadores, con un factor de $i$: $V=(1+iA)(1-iA)^{-1}$.

También se utiliza en el análisis numérico, cuando se utiliza un método de diferencias finitas para la ecuación de onda y quiero conservar por ejemplo, el $L^2$ (discreta) de la norma.

Más tarde edit: Si quieres todo el círculo para ser cubierto usted puede tomar una plaza antes de la división en real/imag partes: $t \in {\Bbb R} \mapsto \frac{(1+it)^2}{(1-it)^2}\in {\Bbb C}$ cubre el círculo dos veces (aunque (1,0) sólo una vez). Esto nos da: $$x(t) = \frac{1-6t^2+t^4}{1+2t^2+t^4} , \ \ \ y(t) = \frac{4t -4t^3}{1+2t^2+t^4}$$

Answer 2

¿Qué acerca de la $f(x,\pm)=\pm\sqrt{1-x^2}$ donde $f(\cdot,\cdot)$ tiene un discreto y continuo de los parámetros definidos en $[-1,1]$...

Usted también puede usar $e^{it}=\cos(t)+i\sin(t)$ a representar un círculo en el plano complejo. Con este cálculo de transformadas de Fourier se convierte en la mano...

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Solo un comentario a H. H. Rugh respuesta que necesita soporte gráfico:

Su parametrisation es el stereograhic proyección que tiene una aplicación en la Fotografía:

$\hskip1.5in$