¿Por qué la topología rara vez aparece fuera de ella?

Question

Actualmente estoy cursando topología y me parece una rama de las matemáticas completamente diferente a todo lo que he encontrado anteriormente.

Me parece un poco extraño que no se definan las cosas de forma más concreta. Por ejemplo, un espacio topológico se define como un conjunto $X$ con una colección de conjuntos abiertos $\tau$ que satisface algunas propiedades como el conjunto vacío y $X$ están en $\tau$ la intersección de dos conjuntos abiertos están en $\tau$ y las uniones de conjuntos abiertos está en $\tau$ .

Así, parece que muchas cosas son espacios topológicos, como la línea real dotada de una colección de conjuntos abiertos. Pero no he visto a nadie sacar esto a colación en otras áreas de las matemáticas como el álgebra lineal, el cálculo, las ecuaciones diferenciales o el análisis o el análisis complejo. Claro que se mencionan los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados, pero el concepto de "topología", "base", etc., etc., no se menciona en absoluto.

A medida que se rasca un poco más la superficie se encuentran cosas como la topología del subespacio, la topología del producto, la topología del orden y los conjuntos abiertos se definen de forma diferente con respecto a cada una de ellas. Pero sin embargo, fuera de un curso de topología, nunca te encuentras con estos conceptos.

¿Hay alguna razón por la que la topología no sea esencial para otros cursos que he mencionado? ¿Existe una buena referencia que engrane la topología seria (como en Munkres) con el área más aplicada de las matemáticas?

Answer 1

En 1830, Jacobi escribió una carta a Legendre tras la muerte de Fourier (para un relato, véase Fourier, Legendre y Jacobi , Kahane, 2011). En él escribe sobre "L'honneur de l'esprit humain" (El honor de la mente humana), que más tarde se convirtió en un lema de las matemáticas puras, y en el título de un fabuloso libro de Dieudonné. La traducción de la cita existe bajo diferentes formas, elegí:

Las matemáticas existen únicamente para el honor de la mente humana.

Lo que no impide usos prácticos imprevistos de las teorías abstractas: las derivaciones de grupos inspiradas en la resolución de raíces de polinomios tuvieron aplicaciones cotidianas inesperadas en química y criptografía.

Ya que tiene grandes expectativas sobre la topología, debería echar un vistazo a una aplicación reciente de análisis situs al mundo del procesamiento digital de datos, llamado Análisis de datos topológicos (TDA), impulsada por gente como G. Carlsson (sin olvidar a gente como Edelsbrunner, Frosini, Ghrist, Robins), incluso de forma industrial (por ejemplo, con Ayasdi empresa). En pocas palabras, puede extraer códigos de barras de nubes de puntos, basándose en el concepto de homología persistente.

EDIT: a petición de los interesados, añado algunos enlaces relevantes (no publicitarios)

• Códigos de barras: La topología persistente de los datos Robert Ghrist, 2008
• Análisis de datos topológicos , Afra Zomorodian, 2011
• Homología persistente: Theory and Practice, Herbert Edelsbrunner y Dmitriy Morozov, 2012
• Curso breve de geometría y topología computacional Herbert Edelsbrunner, 2014
• Topología elemental aplicada Robert Ghist, 2014
• Teoría de la persistencia: De las representaciones de carcajadas al análisis de datos , Steve Y. Oudot, 2015
• El sitio Topología aplicada - Análisis de datos cualitativos con un conjunto de preprints

Estos métodos podrían estar sobrevalorados (en la práctica), pero, desde mi punto de vista, la topología es omnipresente en muchos campos aplicados, incluso cuando no se menciona directamente. La mayoría de los trabajos innovadores en el procesamiento de señales, el análisis de imágenes, el aprendizaje automático y la ciencia de los datos realizados en los últimos años se basan en optimización y pruebas de convergencia con diferentes normas, pseudo-normas, cuasi-normas, divergencias... de ahí la topología, un poco.

En cuanto al muestreo y las redes de sensores, permítanme añadir la presentación Sensores, muestreo y selección de escala: un enfoque homológico por Don Sheehy, con diapositivas y abstracto:

En su trabajo seminal sobre las redes de sensores homológicas, de Silva y Ghrist mostraron el sorprendente hecho de que es posible certificar la cobertura de una red de sensores sin coordenadas incluso con un conocimiento conocimiento del espacio a cubrir. Damos una prueba nueva y más sencilla de del Criterio de Cobertura Topológica de Silva-Ghrist que elimina cualquier suposiciones sobre la suavidad de la frontera del espacio subyacente subyacente, lo que permite que los resultados se apliquen a problemas más generales. La nueva prueba tiene en cuenta los aspectos geométricos, topológicos y combinatoria de este enfoque. Esta factorización revela una conexión nueva e interesante entre la condición de cobertura topológica y la noción de tamaño de característica débil en la teoría de muestreo geométrico. En aplicamos esta conexión al problema de demostrar que, para una escala determinada escala, si se conoce el número de componentes conectados y la distancia a la frontera, también se pueden inferir los números betti superiores o proporcionar pruebas sólidas de que se necesitan más muestras. Esto está en de los trabajos anteriores, que se limitaban a suponer una buena muestra y no daban ninguna garantía si no se cumple la condición de muestreo.

Answer 2

Una de las lecciones básicas de las matemáticas del siglo XX fue que la mejor manera de pensar en las estructuras infinitas es que tengan una topología (o algo parecido a una topología que sirva para fines similares). La idea es que todo es un "espacio" de algún tipo y no sólo un conjunto. Un conjunto puro sin estructura topológica se incluye en esta visión como el caso extremo de la topología discreta.

En esa mentalidad, la pregunta sería al revés: "¿dónde está la topología no ¿"Aparecer"? La lista sería bastante limitada.

La idea de que todo es topológico no es algo que se deduzca fácilmente de las clases y los libros de texto. Sin embargo, ha sido la idea reinante en las matemáticas puras durante bastantes décadas. No en la matemática aplicada (hasta ahora).

Sólo con algunas estructuras finitas la topología se vuelve irrelevante, y no en todos esos casos.

"Las cosas no se definen de forma más concreta. Por ejemplo, un espacio topológico se define como un conjunto con una colección de conjuntos abiertos que satisfacen algunas propiedades"

La topología surgió de problemas geométricos concretos, como el recuento de los "agujeros" de una superficie. Se comprendió que todo podía formalizarse en términos de funciones continuas, y la definición de conjuntos abiertos procede de la definición épsilon-delta de continuidad.

topología de subespacio, topología de producto, topología de orden

Dada la ubicuidad de la topología, se trata sólo de un vocabulario básico para describir cosas más sustanciales, como el lenguaje de los conjuntos, las funciones y las relaciones.

Answer 3

En la mayoría de las ramas de las matemáticas que trabajan con espacios topológicos, la mayoría de los espacios que se utilizan tienen una sola topología natural* con la que se quiere trabajar, por lo que las discusiones generales sobre topología abstracta son innecesarias. Dondequiera que haya un espacio métrico, hay una topología, y hay cuestiones topológicas que plantear, pero estas cuestiones tienden a pasar a un segundo plano con respecto al tema. Puede que te importe que un espacio sea compacto, pero sólo porque eso te permite demostrar las cosas que realmente quieres demostrar.

Me gustaría rebatir tu afirmación de que la topología no es importante en el cálculo. La discusión de las funciones continuas depende íntimamente de la topología, y aunque la mayor parte del cálculo diferencial trata de funciones diferenciables, hay al menos dos cosas importantes en el cálculo que se utilizan repetidamente y que son de naturaleza topológica: el teorema del valor extremo (una afirmación sobre la compacidad de los intervalos cerrados finitos) y el teorema del valor intermedio (una afirmación sobre cómo $\mathbb R$ está conectado). Aunque un curso de cálculo de primer semestre no se centrará en ellos, constituyen los fundamentos teóricos por los que se sabe que ciertos problemas tienen solución, y por eso se puede utilizar el cálculo para encontrarla.

*Como se menciona en otra respuesta, el análisis funcional es una excepción. Dado un espacio infinitamente dimensional de funciones lineales, suele haber múltiples formas naturales, aunque distintas, de poner una topología en el dual lineal, por lo que las discusiones sobre topología se vuelven importantes.

Answer 4

Una asignatura que se basa en gran medida en la topología es el análisis funcional, deberías echarle un vistazo. En los cursos básicos de matemáticas no se encuentra nada que se comporte de forma tan extraña, lo que hace más difícil ver el sentido o la "idea" de la topología. Un curso serio de análisis funcional será probablemente el primer lugar en el que uno se encuentre con estructuras en las que las cosas se complican y en las que uno realmente necesita estar familiarizado con las nociones no intuitivas de la topología. Por supuesto, hay muchos otros lugares en los que se necesita la topología, pero mi opinión es que el análisis funcional es uno de los más básicos y uno que es bastante fácil de entender con una experiencia previa limitada.

https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_analysis

Answer 5

La respuesta obvia es que es a menudo aparece fuera de la topología.

Pero no he visto a nadie plantear esto en otras áreas de las matemáticas como el álgebra lineal, el cálculo, las ecuaciones diferenciales o el análisis o el análisis complejo.

¿No has visto ninguna topología en estas clases? La topología de conjuntos de puntos es simplemente una extensión del análisis de los espacios métricos a los espacios topológicos. En tu clase de análisis absolutamente debe tener conectividad cubierta, compacidad, conjuntos abiertos/cerrados.

Cuando se rasca un poco más la superficie se encuentran cosas como la topología del subespacio, la topología del producto, la topología del orden y los conjuntos abiertos se definen de forma diferente con respecto a cada uno de ellos.

¿No aparece la topología subespacial? ¿Cómo se pueden considerar las funciones sobre $[0,1]$ en lugar de $\Bbb{R}$ ¿entonces?

¿No aparece la topología del producto? Has hecho cálculo multivariable, ¿no?

¿No aparece la topología de pedidos? Esto es EL topología en $\Bbb{R}$ sobre el que se hace todo el cálculo y el análisis real de grado.

Realmente has estado haciendo topología todo el tiempo. Ahora sólo lo llamas por lo que es. La razón por la que no viste la palabra "topología" antes es simplemente porque no es necesaria. Sin embargo, en clases posteriores, como el análisis funcional, será necesario hablar de diferentes topologías y ser preciso.