Polinomio irreducible sobre un campo algebraico cerrado

Question

Supongo que $k$ es un cuerpo algebraicamente cerrado y $p(x,y)\in k[x,y]$ es un polinomio irreducible.

Probar que hay solamente finito muchos $a\in k$ tal que $p(x,y)+a$ es reducible, es decir, el conjunto de $\{a\mid p(x,y)+a $ es reducible $k, a\in k\}$ es finito.

¿Más general, supongamos que $p\in k[x_1,\ldots,x_n]$ es irreducible, es cierto que hay solamente finito muchos $a\in k$ tal que $p+a$ es reducible?

¡Gracias!

Answer 1

Sí, sólo hay un número finito de valores de $a$ que $p(x_1,...,x_n)+a$ es reducible.

Con el fin de utilizar las poderosas herramientas de proyectiva, geometría algebraica, consideremos el homogeneization $P(x_0,x_1,...,x_n)$ de $p(x_1,...,x_n)$ ($P$ es una irreductible polinomio homogéneo de grado $d$) y preguntar si $P(x_0,x_1,...,x_n)+ax_0^n$ es irreductible, con sólo un número finito de excepciones (El factorizability de la homogeneized polinomio es equivalente a la factorizability de la original polinomio).

La respuesta es sí.
De hecho, en el espacio proyectivo $\mathbb P^{N_d}\: (N_d=\binom {n+d}{d}-1)$ de polinomios homogéneos de grado $d$ $n+1$ variables , la reducible forman una unión de un número finito de irreductible estricto subvariedades: las imágenes de los morfismos $\mathbb P^{N_e} \times \mathbb P^{N_f}\to \mathbb P^{N_d}\; (e+f=d)$ dado por la multiplicación de un polinomio de grado $e$ por uno de grado $f$.

El resto es fácil: la proyectiva de línea en $\mathbb P^{N_d}$ dado por la familia $P(x_0,x_1,...,x_n)+ax_0^n$ no está incluido en el mencionado unión de subvariedades porque el polinomio correspondiente a $a=0$ es irreductible.
Por lo tanto se corta una variedad que sólo un número finito de valores de $a\in k$ y para los otros valores de $a$ $P(x_0,x_1,...,x_n)+ax_0^n$ $p(x_1,...,x_n)+a$ son irreductibles.