Evaluar

Question

¿Qué opciones tengo para esta serie? Ninguna idea cómo hacerlo.

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{4k^2-1}$$

Answer 1

Expresar la suma de la siguiente manera:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2{k}}{4 k^2-1} = \frac12 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4 k^2-1} + \frac12 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos{2 k}}{4 k^2-1}$$

Ahora, la primera suma en el lado derecho es igual a $1/2$. Esto puede ser demostrado que el uso de residuos de la teoría de una manera muy sencilla:

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{4 k^2-1} = -\text{Res}_{z=\pm 1/2} \frac{\pi \cot{\pi z}}{4 z^2-1} = 0$$

lo que significa que

$$2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4 k^2-1} - 1 = 0$$

Para la suma, se dividen en fracciones parciales y reorganizar. Usted termina para arriba con

$$\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos{2 k}}{4 k^2-1} &= \cos{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos{2 (k+1)}-\cos{2 k}}{2 k+1}\\ &= \cos{2} - \sin{1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin{(2 k+1)}}{2 k+1}\end{align}$$

Que la última suma se pueden derivar de la conocida suma

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin{(2 k+1)}}{2 k+1} = \frac{\pi}{4}$$

Por lo tanto, puedo obtener como la suma

$$\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2{k}}{4 k^2-1} &= \frac14 + \frac14 \left (\cos{2} - \frac{\pi}{4}\sin{1} + 2 \sin^2{1} \right )\\ &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8} \sin{1}\end{align}$$

Usted puede verificar que esto comprueba numéricamente en Mathematica o WA.

ANEXO

El "conocido" suma puede ser evaluado teniendo en cuenta la expansión de la serie de la función $\text{arctanh}{z}$:

$$\text{arctanh}{z} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2 k+1}}{2 k+1}$$

así que

$$ \begin{align}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin{(2 k+1)}}{2 k+1} &= \Im{\left [\sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{i(2 k+1)}}{2 k+1}\right]}\\ &= \frac12 \Im{\left[\text{arctanh}{e^i}\right]}\\ &= \frac12 \Im{\left[\log{\left (\frac{1+e^i}{1-e^i} \right )}\right]}\\ &= \frac12 \Im{\left[\log{\left (i \frac{\cos{1/2}}{\sin{1/2}} \right )}\right]}\\ &= \frac{\pi}{4} \end{align}$$

Answer 2

Evitar contorno integración: $$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{\cos^2(kx)}{4k^2-1} &=\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2kx)+1}{2(4k^2-1)}\\ &=\frac12\mathrm{Re}\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{2ikx}+1}{4k^2-1}\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{2ikx}+1}{2k-1}-\frac{e^{2ikx}+1}{2k+1}\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(e^{2ix}+1+\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{2i(k+1)x}-e^{2ikx}}{2k+1}\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(2+(e^{2ix}-1)+(e^{2ix}-1)\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{2ikx}}{2k+1}\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(2+(e^{2ix}-1)\sum_{k=0}^\infty\frac{e^{2ikx}}{2k+1}\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(2+(e^{ix}-e^{-ix})\sum_{k=0}^\infty\frac{e^{i(2k+1)x}}{2k+1}\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(2+i\sin(x)\log\left(\frac{1+e^{ix}}{1-e^{ix}}\right)\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(2+i\sin(x)\log\left(i\tan(x/2)\right)\right)\\ &=\frac14\mathrm{Re}\left(2-\frac\pi2\sin(x)+i\sin(x)\log(\tan(x/2))\right)\\ &=\frac12-\frac\pi8\sin(x) \end {Alinee el} $$ conexión en $x=1$ da \sum_{k=1}^\infty\frac{\cos^2(k)}{4k^2-1}=\frac12-\frac\pi8\sin(1) $$ $$