¿Por qué es UFD un dominio Krull?

Question

Matsumura menciona esto como si fuera obvio, y no puedo encontrar este resultado en cualquier lugar. ¿Siento que falta algo obvio aquí?

Answer 1

Sólo para la integridad: Un Krull de dominio es una parte integral de dominio $D$ con campo de fracciones de $K$ para los que hay una familia $\mathcal{F}=\{R_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ discreto de la valoración de los anillos de $K$ tal forma que:

1. $D = \mathop{\cap}\limits_{\lambda\in\Lambda}R_{\lambda}$; y
2. Para cada $x\in K$, $x\neq 0$, hay a lo sumo un número finito de $\lambda\in\Lambda$ tal que $v_{\lambda}(x)\neq 0$.

Así, supongamos que $D$ es un UFD. Para cada uno (clase de asociados) irreductible elemento $\pi$$D$, la localización lejos de $\pi$ (permitido sólo denominadores son de primer a $\pi$) le da un DVR con la valoración dada por $(\pi)$. La intersección de todos estos DVRs, visto como subrings del campo de fracciones de $D$, es exactamente $D$ (debido a que los únicos elementos en el campo de las fracciones que puede ser escrito con denominadores primer a todos los irreducibles son los elementos de $D$), y cada elemento del campo de las fracciones tiene un valor distinto de cero $\pi$-valoración sólo en un número finito de $\pi$ (escribe la fracción en la reducción de términos: sólo los $\pi$ que aparecen en el numerador o el denominador de darle un valor distinto de cero, la valoración). Por lo $D$ es un Krull anillo.