Nota de aproximación de Stirling

Question

Durante mi estudio a aproximación de Stirling encontrar esta fórmula $n! \approx \sqrt{2\pi n} n^{n}e^{-n} $ pero sabemos que $ 0! =1 $ y de esta fórmula si reemplazamos cada $ n $ $ 0$ tendremos $ 0^0$ que no está definido. Mi pregunta es ¿cómo conseguir $0! $ mediante el uso de esta fórmula?... alguien puede explicarme para mí. Te agradezco... Gracias

Answer 1

En general, matemáticos generalmente definen $0^0=1$.

Hay buenos argumentos para hacerlo, ha explicado aquí.

Además, no se debe usar aproximación de Stirling para tal pequeño $n$.

Answer 2

Stirling Asintótica de Expansión

Como se muestra en esta respuesta, de una manera más precisa asintótica de expansión es $$ n!=\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}\left(1+\frac1{12n}+\frac1{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}+O\left(\frac1{n^4}\right)\right) $$ Para entender qué es una expansión asintótica es decir, consideran que el término $O\left(\frac1{n^4}\right)$. Esto significa que hay una constante fija, $C$, por lo que $$ \left|\,n!-\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}\left(1+\frac1{12n}+\frac1{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}\right)\,\right|\le\frac C{n^4} $$ Como se puede ver, el error de este asintótica de expansión puede ser muy grande cuando la $n\approx0$, por lo que esta expansión asintótica es más útil cuando se $n$ es grande.

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$\boldsymbol{0^0}$

$0^0$ se considera una forma indeterminada, al calcular el límite $$ \lim\limits_{(x,y)\a(0,0)}x^y $$ Sin embargo $0^0$ es generalmente definida como $1$.

En la segunda mitad de esta respuesta un número de razones de por qué $0^0$ es generalmente definida como $1$.

1. $a^b$ cuenta el número de funciones de un conjunto de tamaño $b$ a un conjunto de tamaño $a$. Ya que no es una función del conjunto vacío al conjunto vacío (la función vacía), en este caso, $0^0=1$.

2. A menudo, cuando nos encontramos con un exponente de $0$, está en un término de $x^0=1$ o en un término como $e^x$ donde $x=0$. Es el último caso, esto es, sin duda, $1$. Sin embargo, $x^0$ es continua en a $0$ si definimos $0^0=1$. Este resulta ser el más útil en el valor que se asigna a $0^0$ en la mayoría de los casos podemos encontrar; por ejemplo, los polinomios, el poder de la serie, el Teorema del Binomio, etc.

Debido a que esta definición se ajusta a la mayoría de los casos, esta definición es la que habitualmente se utiliza.

Answer 3

Significa que la relación $n! \approx \sqrt{2\pi n}\ n^n e^{-n}$ $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2\pi n}\ n^n e^{-n}}{n!} = 1\vphantom{\frac{\int}{\displaystyle\sum}}$. Esto significa que la relación se puede hacer tan cerca de $1$ como se desee haciendo $n$ suficientemente grande. Así que nada depende de lo que sucede con pequeños valores de $n$.