¿Es un sistema infinito de ecuaciones (lineales) solucionable si son finitos todos los subsistemas?

Question

Me preguntaba acerca de los siguientes.

Deje $A$ ser un grupo abelian, $a_i$ variables indizadas con algunas conjunto arbitrario $I$ y supongamos que tenemos un conjunto infinito $E$ de las ecuaciones lineales en un número finito de variables de la forma $$n_1a_1 + \ldots + n_ka_k = b$$ con $n_i \in \mathbb Z, b \in A$.

Si este sistema no tiene solución, entonces hay ya un subconjunto finito de ecuaciones en $E$, que son incompatibles? Así que si cualquier subconjunto finito de ecuaciones tiene solución, es $E$ solucionable?

Esto es una reminiscencia de la compacidad teorema 1 de la orden de la lógica, pero, por supuesto, no se puede aplicar esto para un determinado grupo. Me estoy perdiendo algo? Supongo que esto tiene una fácil prueba o un contraejemplo. ¿Qué sucede si suponemos particularmente agradable grupos (divisible, libre) o espacios vectoriales? Esta pregunta es sólo acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.

Gracias por dar un poco de perspicacia

Answer 1

No estoy seguro si esto funciona y tengo no mucho tiempo, pero creo que puede ser capaz de construir contraejemplos. Sea $A$ la geenrated de Grupo abeliano en $x_i$ ($i \ge 0$), $y_i$ ($i \ge 0$), definición de relaciones $2y_i=0$ % todo $i$, $2x_0=0$, $2x_{i+1}=x_i+y_i$ % todos $i \ge 0$.

Ahora toma el sistema de ecuaciones $2a_1=x_1$, $2a_{i+1}=a_i$ $i \ge 0$. El subsistema consitimg de solo las ecuaciones hasta $i=k$ tiene la solución de $a_{k+1}=x_{k+1}$, $a_k=x_k+y_k$, $a_j=x_j$ $0 \le j < k$. Pero no creo que el sistema completo tiene una solución.