$1 + 1 + 1 +\cdots = -\frac{1}{2}$

Question

El formal de la serie

$$ \sum_{n=1}^\infty 1 = 1+1+1+\dots=-\frac{1}{2} $$

viene de la analítica de la continuación de la de Riemann zeta función de $\zeta (s)$$s=0$, y se utiliza en la Teoría de cuerdas. Soy consciente de pruebas por el Prof. Terry Tao y la Wikipedia, pero no estoy totalmente de entender. Podría alguien de proporcionar una interfaz intuitiva de prueba o comentario sobre por qué esto debe ser así?

Answer 1

Déjame caminar a través de la zeta de Riemann de cálculo. Llame a $S$ de su cantidad original. Vamos a regular la suma de la siguiente manera: $$S_s \equiv \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^s}.$$ Fix $n \geq 1.$ $n^{-s} \rightarrow 1$ $s \rightarrow 0,$ así que si podemos asignar un significado a$S_s$$s \rightarrow 0$, podemos interpretar $S$ este límite.

Ahora, para $s > 1$ de dicha suma, existe y es igual a la de Riemann zeta función, $\zeta(s).$ $\zeta$ tiene un polo en $s=1$, que es simplemente la afirmación de que el (no regulado) suma $\sum 1/n$ diverge. Pero podemos analíticamente continuar $\zeta$ si tomamos cuidado para evitar este polo. Entonces podemos Taylor se expanden alrededor de $s=0$

$$\zeta(s) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln(2\pi) s + \ldots$$ lo que implica que

$$S = \lim_{s \rightarrow 0} S_s = -\frac{1}{2}.$$ (El signo de igualdad debe entenderse en el regulado de los sentidos.)

Hay muchas otras formas de regular la suma. Puede por ejemplo, suprimir la cola de $\sim \exp(-\epsilon n)$, pero entonces usted necesita para agregar un counterterm para absorber un polo como $\epsilon \rightarrow 0.$

Answer 2

El resultado que se obtiene al calcular sumas como $$S=\sum_{n=1}^\infty T_n$$ depende de cómo se defina. Aquí $T_n$ denota cualquier cosa que nos quiera insertar allí.

La manera más intuitiva para definir una infinita suma es mediante el uso de sumas parciales. La idea es introducir una secuencia de sumas $$S_N=\sum_{n=1}^N T_n$$ y, a continuación, definir el infinito suma $S$ como el siguiente límite $$S=\lim_{N\to \infty}S_N.$$ Obviamente, cada suma parcial $S_N$ es finito, sin embargo el problema es que en este límite, que pueden ser divergentes. Por su ejemplo, evidentemente, este límite se bifurca y no da nada útil.

Para tratar con este tipo de sumas personas inventado otro llamado enfoque analítico continuación, que se describe en la respuesta por Vibert. No para de repetir que sólo voy a decir, que de forma intuitiva la idea es considerar convergente suma, en lugar de nuestro divergentes. A continuación, reemplace esta suma por una función analítica (es decir Riemann zeta función). Finalmente, tomamos el límite de esta función analítica en esa región, donde la suma inicial diverge.

Un ejemplo de analítica continuación se encuentra la conocida función gamma $\Gamma(n)$, que coincide con la función de $(n-1)!$ al $n\in \mathbb{Z}$. Sin embargo, $\Gamma(z)$ está definida para cualquier compleja $z\in\mathbb{C}$.

Answer 3

Utilice la siguiente ecuación funcional: [que no es trivial obtener]

$$\pi^{-\frac{1}{2}s}\Gamma\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1}{2}(1-s)}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)$$

PD: Página 43 del siguiente "trabajo" http://www.math.ethz.ch/~gruppe5/group5/lectures/mmp/hs13/Files/Lecture%20notes%20(November%2029).pdf