Grupo $G$ en cuyo centro $Z(G)$ es cíclico y con $G/Z(G)$ conmutativa

Question

Tengo un poco de problema a resolver el siguiente ejercicio. El ejercicio es de un libro en francés sobre Álgebra (cours d''Algèbre) de Jean Querré. El libro es de la década de 1970.

Si el centro de la $Z(G)$ de un grupo $G$ es cíclico y $G/Z(G)$ es conmutativa entonces existe un grupo de $H$ tales que $H \times H$ es isomorfo a $G/Z(G)$.

Answer 1

Esta respuesta es casi completa y yo creo que (leer esperanza) de que es correcta hasta el punto de que me quedo atascado. (He publicado esto como una respuesta porque es demasiado largo para un comentario y yo debo ir a la cama.)

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Basta por el primer teorema de isomorfismo para encontrar un grupo de $H$ y un surjective homomorphism $\theta : G \H \times H$ que $\ker \theta = Z(G)$.

Por la ortografía de las definiciones es fácil ver que $G/Z(G)$ es conmutativo si y sólo si $g^{-1}h^{-1}gh \Z(G)$ para todo $g,h \in G$, que se produce si y sólo si $[G,G] \le Z(G)$, donde $[G,G]$ es el colector de un subgrupo de $G$.

Esto implica que el mapa de $G \a [G,G]$ definida por $x \mapsto g^{-1}x^{-1}gx$ es un homomorphism fijo de $g \in G$, ya que si $y \in G$ $$\begin{align} (g^{-1}x^{-1}gx)(g^{-1}y^{-1}gy) y= g^{-1}(x^{-1}gxg^{-1})y^{-1}gy \\ y= g^{-1}y^{-1}(x^{-1}gxg^{-1})gy \\ y= g^{-1}y^{-1}x^{-1}gxy \\ y= g^{-1}(x-y)^{-1}g(xy) \end{align}$$ Asimismo, el mapa de $x \mapsto x^{-1}h^{-1}xh$ es un homomorphism fijo $h \in G$.

Desde $Z(G)$ es cíclico, por lo que es de $[G,G]$, y por lo tanto es generado por un solo elemento $g^{-1}h^{-1}gh$ $g,h \in G$.

Revisión $g,h \in G$ que $[G,G] = \langle g^{-1}h^{-1}gh \rangle$. Deje que $H = [G,G]$ y definir $\theta : G \a [G,G] \times [G,G]$ por $$\theta(x) = (g^{-1}x^{-1}gx, x^{-1}h^{-1}xh)$$ Ahora

• Sabemos que $\theta$ es un homomorphism por encima de los comentarios.
• $\theta$ es surjective. De hecho, si $a \in [G, G] \times [G, G]$ existen $m,$ n tal que $$a = ( (g^{-1}h^{-1}gh)^m, g^{-1}h^{-1}gh)^n )$$ Pero $\theta(h) = ( g^{-1}h^{-1}gh, 1 )$ y $\theta(g) = ( 1, g^{-1}h^{-1}gh )$, por lo que $$a = \theta(h)^m\theta(g)^n = \theta(h^mg^n)$$ por lo tanto $a \in \mathrm{im}\, \theta$.
• (Aquí es donde me quedo atascado.) Necesitamos demostrar que $\ker \theta = Z(G)$. El $\supseteq$ dirección es obvio. Por $\subseteq$, supongamos que $x \in \ker \theta$ y dejar $y \in G$. Necesitamos mostrar $xy=yx$. Bien $x \in \ker \theta$ implica $xg=gx$ y $xh=hx$, entonces $x$ desplazamientos con $g$ y $h$ (y sus inversas). Estoy seguro de que un poco más de hacking daría $xy=yx$ pero yo no he logrado hacerlo. El hecho de que $x^{-1}y^{-1}xy \in [G,G]$ y por tanto $x^{-1}y^{-1}xy = (g^{-1}h^{-1}gh)^n$ $$ n debe ser útil.